Magische Quadrate

Serenus Zeitblom beschreibt im 12. Kapitel des Doktor Faustus Adrians Bude in Halle:

Darüber an der Wand war mit Reißnägeln ein arithmetischer Stich befestigt, den er in irgend einem Altkramladen aufgetrieben: ein sogenanntes magisches Quadrat, wie es neben dem Stundenglase, dem Zirkel, der Waage, dem Polyeder und anderen Symbolen auch auf Dürers Melencolia erscheint. Wie dort war die Figur in sechzehn arabisch bezifferte Felder eingeteilt, so zwar, dass die 1 im rechten unteren, die 16 im linken oberen Felde zu finden war; und die Magie – oder Kuriosität – bestand nun darin, dass diese Zahlen, wie man sie auch addierte, von oben nach unten, in die Quere oder in der Diagonale, immer die Summe 34 ergaben. Auf welchem Anordnungsprinzip dies zauberisch gleichmäßige Ergebnis beruhte, habe ich nie herausbringen können, aber schon vermöge des prominenten Platzes über dem Instrument, den Adrian dem Blatte gegeben, zog es immer wieder die Augen auf sich, und ich glaube, es verging mir wohl kein Besuch in seinem Logis, ohne dass ich mit einem raschen Blick querhin, schräg hinauf oder gerade hinunter die fatale Stimmigkeit nachgeprüft hätte.

Die Kennzeichnung durch die Enden der einen Diagonale reicht nicht aus, das Quadrat zu bestimmen, nicht einmal, die anderen beiden Zahlen dieser Diagonale. Wikipedia schreibt, dass es 880 Möglichkeiten gebe, die Frénicle 1693 gefunden habe. Bestimmt meinte er in seiner Standardform: die größte Eckzahl links oben und die Zahl rechts von ihr kleiner als die unter ihr.

Wie vervielfältigt sich die 880, wenn man Varianten der Standardformen erlaubt? Drei Rotationen vervierfachen, vier Spiegelungen (waagerecht, senkrecht und an beiden Diagonalen) nochmal, also versechzehntfacht. Dass die 1 rechts unten hinkommt, ist nur in einem Sechzehntel der Quadrate so – vorausgesetzt, dass alles gleichverteilt ist. Damit sind wir bei 880 magischen Quadraten mit der 1 rechts unten. Dass die 16 links oben hinkommt, schränkt die 880 auf ihr Fünfzehntel ein, das wären knapp 60.

Die Eigenschaft des Dürerschen magischen Quadrats, dass auch die Summe der Eckzahlen 35 ist, auch die der vier 2×2-Teilquadrate und zudem die Jahreszahl des Schaffens einbeschrieben ist (u.a.), erwähnt Thomas Mann ja nicht. Solches würde weitere Einschränkungen bedeuten. Die Nennung von zwei gegenüberliegenden Eckzahlen bestimmt das magische Quadrat also nicht, aber da das Urbild des Stichs ja angegeben ist, lässt es sich dort plane anschauen:

16 03 02 13
05 10 11 08
09 06 07 12
04 15 14 01

Ein – das einzig mögliche, normiert man es nach Frénicle – magisches Quadrat mit Seitenlänge 3 ist im chinesischen The Astronomical Phenomena (天原发微) abgebildet. Betitelt ist es „Bild der Schrift aus dem Luo-Fluss“ (洛书之图). Im Text darunter sind sowohl seine Herkunft als auch die Positionen der Zahlen erschöpfend beschrieben:

大禹治水神龟出洛负文列于背有数至九其数以五居中戴九履一左三右七二四为肩六八为足禹因第之以成九畴

Als der Große Yu die Wasser zähmte, kam aus dem Luo-Fluss eine göttliche Schildkröte, die auf dem Rücken eingezeichnete Zahlen angeordnet trug, bis zur Neun hin. Von den Zahlen befand sich die Fünf in der Mitte, den Kopf bildete die Neun, im Schritt war die Eins, links die Drei, rechts die Sieben, die Zwei und die Vier waren die Schultern und die Sechs und die Acht die Füße. […]

Zu beachten ist, dass im alten Chinesisch die von oben nach unten zu lesenden Textspalten von rechts nach links geschrieben sind. Daher werden, anders als bei den beiden Zahlen „links“ und „rechts“, die dadurch gegen die Leserichtung positioniert sind, bei den Schulter- und Fußzahlen zuerst die von uns Lesern aus gesehen rechte, dann die linke genannt.

Die Zahlen sind als entsprechende Anzahl von miteinander verbundenen Punkten dargestellt. Bei geraden Zahlen sind die Punkte schwarz, bei ungeraden weiß. Die Abbildung weist außerdem die Orientierungen Süden/vorn (南前), Norden/hinten (北后), Westen/rechts (西右) und Osten/links (东左) auf.

In arabischen Ziffern sieht dieses Quadrat so aus:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

Um es in die Frénicle-Standardform zu bringen, muss man es um 90 Grad im Uhrzeigersinn drehen:

8 3 4
1 5 9
6 7 2

und dann an der Diagonale 8-2 spiegeln:

8 1 6
3 5 7
4 9 2

Im Altertum gab es ein Lied, um sich die Position der Zahlen zu merken. Es ist wörtlich in die obige Beschreibung eingebettet, daher die Rhythmik und Parallelität der Sentenz. Hier soll es noch mal ausgezogen werden:

戴九履一
dài jiǔ lǚ yī
Neun als Kopf und Eins konträr

左三右七
zuǒ sān yòu qī
Links die Drei und rechts die Sieben

二四为肩
èr sì wéi jiān
Zwei und Vier sind Schultern schwer

六八为足
liù bā wéi zú
Sechs und Acht als Füße blieben

Die Fünf, die im Lied fehlt, kommt ins verbleibende zentrale Feld. Wieder zu beachten, dass Schulter- und Fußzahlen von rechts nach links zu verstehen sind.

Im Buch der Wandlungen (易经) ist die Zeichnung auf dem Schildkrötenpanzer nur kurz erwähnt, zusammen mit der Zeichnung aus dem Gelben Fluss (河图):

河出图,洛出书,圣人则之。

Aus dem Gelben Fluss die Zeichnung, aus dem Luo-Fluss die Schrift, der Heilige nutzt sie.

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