Asymmetrie

Die Toiletten auf der Arbeit haben diesen Grundriss:

Weil es eng ist, steht man am Urinal, möchte ich ein Aneinandervorbeidrängen vermeiden. Immer komme ich von rechts, vom Flur, rein und gehe nach links, zum Händewaschen, raus. Andere kommen auch mal von links, von den Spinden, rein und gehen nach rechts, ohne Händewaschen, raus.

Als ich die leere Toilette betrat, fragte ich mich, an welches der drei Urinale stelle ich mich am besten, damit möglichst wenige Überkreuzungen geschehen. Ich ging mal von gleicher Wahrscheinlichkeit, dass ein zweiter Pisser von links wie von rechts reinkomme, aus und schloss aus dieser Symmetrie, dass ich mich am besten in die Mitte stelle. Dieses Intuitive wollte ich mathematisch bestätigen.

Der Einfachkeit halber beginne und ende mein Strahl vor dem seinen, so dass er nach mir reinkommt und ich vor ihm rausgehe. (Ganz entschlüpfert ist mir der Fall, dass ich zweiter Pisser sein könnte, weil schon jemand drinne.)

1. Fall: Ich (1) stelle mich ans linke Urinal (LU). 2 Unterfälle:

1. Unterfall: Der 2. Pisser (2) kommt durch die linke Tür (LT) rein, geht an mir vorbei und stellt sich, das ist egal, ans mittlere (M) oder rechte Urinal (RU). Ich bin vor ihm fertig und gehe ohne Überkreuzung (ÜK) nach links ab.

LT LU MU RU RT ÜK
. .1. . . . . . 0
2..1........... 0
. .12.......... 1
. .1..2........ 1
1. . .2 . . . . 1

2. Unterfall: Der 2. Pisser kommt durch die rechte Tür (RT) rein und stellt sich, das ist egal, ans mittlere oder rechte Urinal. Ich bin vor ihm fertig und gehe nach links ab.

LT LU MU RU RT ÜK
. .1. . . . . . 0
. .1........2 . 0
. .1......2 . . 0
1. . . . .2 . . 0

Im Schnitt geschehen (1+0)/2 = 0,5 Überkreuzungen.

2. Fall: Ich stelle mich ans mittlere Urinal. 4 Unterfälle:

1. Unterfall: Der 2. Pisser kommt von links und stellt sich ans linke Urinal.

LT LU MU RU RT ÜK
......1 . . . . 0
2. . .1 . . . . 0
. .2..1 . . . . 0
. .21 . . . . . 1
1..2. . . . . . 1

2. Unterfall: Der 2. Pisser kommt von links und stellt sich ans rechte Urinal.

LT LU MU RU RT ÜK
......1 . . . . 0
2. . .1 . . . . 0
......12. . . . 1
. . . 1..2..... 1
1........2..... 1

3. Unterfall: Der 2. Pisser kommt von rechts und stellt sich ans linke Urinal.

LT LU MU RU RT ÜK
......1 . . . . 0
......1. . .2 . 0
......12. . . . 1
. .2..1 . . . . 1
. .21 . . . . . 2
1..2. . . . . . 2

4. Unterfall: Der 2. Pisser kommt von rechts und stellt sich ans rechte Urinal.

LT LU MU RU RT ÜK
......1 . . . . 0
......1. . .2 . 0
......1..2. . . 0
1........2. . . 0

Im Schnitt geschieht (1+1+2+0)/4 = 1 Überkreuzung.

3. Fall: Ich stelle mich ans rechte Urinal. 2 Unterfälle:

1. Unterfall: Der 2. Pisser kommt von links und stellt sich, das ist egal, ans linke oder mittlere Urinal.

LT LU MU RU RT ÜK
. . . . .1. . . 0
2........1. . . 0
. .2. . .1. . . 0
. .21 . . . . . 1
1..2. . . . . . 1

2. Unterfall: Der 2. Pisser kommt von rechts und stellt sich, das ist egal, ans linke oder mittlere Urinal.

LT LU MU RU RT ÜK
. . . . .1. . . 0
. . . . .1..2 . 0
. . . . .12 . . 1
. .2. . .1. . . 1
. .21 . . . . . 2
1..2. . . . . . 2

Im Schnitt geschehen (1+2)/2 = 1,5 Überkreuzungen.

Resümiert geschehen, stelle ich mich ans linke Urinal, eine halbe, ans mittlere, eine ganze und ans rechte, eineinhalb Überkreuzungen. Die Asymmetrie meiner eigenen Bewegung hatte ich ganz vergessen, die die Symmetrie der der anderen kippen lässt.

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