Geometrie zum Zeitvertreib

Als auf der Arbeit gerade nichts zu tun war, konstruierte ich mal eine geometrische Aufgabe und legte sie meinem Kollegen, der Mathematiker ist, vor:

Die Lösung wusste ich selbst nicht, hatte nur beim Konstruieren festgestellt, dass die Seite des Quadrats A recht genau 7,5 cm lang ist. In der Mittagspause nannte der Kollege mir 55,55 cm². Ich versuchte, 7,5 im Kopf zu quadrieren, verrechnete mich und kam auf 55,55, wenn auch ohne Periode, richtig wäre aber 52,5 + 3,75 = 56,25 gewesen. Überrascht von seinem Erfolg wollte ich seinen Lösungsweg wissen.

Es kostete relativ viel Zeit, einen bestimmten Schritt von ihm nachzuvollziehen. Zunächst wissen wir, dass die Diagonale nach dem Satz des Pythagoras die Länge Wurzel(10^2+20^2) = Wurzel(100+400) = Wurzel(500) hat. Der Kollege behauptete nun, dass nach dem Strahlensatz sich die Seitenlänge des Quadrats zum Rest der Diagonale wie 1 zu 2 verhalte. Diesen Schritt verstand ich lange nicht. Aber gegeben, es verhält sich so, dann ist die Quadratseite ein Drittel von der Diagonale. Errichtet man nun auf der Diagonale ein Quadrat, hat es die Fläche 500, und die Fläche des Quadrats A ist ein Drittel zum Quadrat gleich ein Neuntel so groß. Somit hat man sich die Berechnung der Quadratseitenlänge gespart und weiß, dass die gesuchte Fläche 500/9 = 55,5 cm² beträgt.

Selbst musste ich es viel umständlicher rechnen. Nahm das rechtwinklige Dreieck und wollte über tan(γ) = 20 cm / 10 cm = 2 γ ausrechnen als arctan(2). Vorgegeben ist der Winkel β = 45°. Aus der Winkelsumme 180° lässt sich dann der dritte Winkel α als 180° – 45° – γ bestimmen. Man hat also ein nichtrechtwinkliges Dreieck, von dem man drei Winkel und eine Seite kennt. Kann man daraus nicht die übrigen Seiten berechnen, fragte ich den Mathematiker. „Ja, sicher“, antwortete er und nannte den Sinussatz a/b = sin(α)/sin(β).

Das hört sich arg simpel an, besonders für ein keiner besonderen Bedingung genügendes Dreieck, lässt sich aber doch einfach beweisen, indem man ein Lot fällt und nun zwei rechtwinklige Dreiecke vorliegen hat:

Ok, damit krieg ich die gesuchte Quadratseite raus. Der gegenüberliegende Winkel beträgt 45°, wovon der Sinus Wurzel(2)/2 ist. Den der mit 10 cm bekannten Seite gegenüberliegenden Winkel α hatten wir als 180° – 45° – γ = 180° – 45° – arctan(2) bestimmt. Womit die gesuchte Quadratseite 10 cm * Wurzel(2) / (2*sin(180°-45°-arctan(2))) ist und die gesuchte Fläche das Quadrat davon und damit 50 cm² / sin²(135°-arctan(2)). Mit Excelhilfe („Kennt der Arkustangens?“, der Kollege erstaunt) kamen, holla, wirklich genau seine 55,5 heraus.

Mich verwunderte das, weil ich sein Strahlensatzargument nicht nachvollziehen konnte. Brauchte auch noch eine ganze Weile, bis mir die Situation dann aufging:

Damit verstand ich, wie die Winkelhalbierende dafür sorgt, dass die Diagonale im Verhältnis 1:2 abgeteilt wird.

Ich bedankte mich herzlich, dass wir die improvisierte Aufgabe vor Feierabend einer glücklichen Lösung zuführen konnten.

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