Neuneruhr

Die FAZ bebildert einen Blogbeitrag über Matheangst mit einer Analoguhr, deren Zahlen nur mit Neunen ausgedrückt sind. Was tut man als Leser als erstes? Man rechnet nach:

9/9 = 1
(9+9)/9 = 18/9 = 2
Wurzel(9)+9-9 = Wurzel(9) = 3
Wurzel(9)+9/9 = 3+1 = 4
Wurzel(9!)-9/9 = Wurzel(362880)-1 = 602,4-1 = 601,4
9-9/Wurzel(9) = 9-9/3 = 9-3 = 6
9-Wurzel(9)+,9 = 9-3+0,9999999999… = 9-3+1 = 7
9-9/9 = 9-1 = 8
9^(9/9) = 9^1 = 9
9+9/9 = 9+1 = 10
99/9 = 11
9+9/Wurzel(9) = 9+9/3 = 9+3 = 12

Die 5 hat einen Fehler. Der Wurzelstrich muss vor dem Fakultätszeichen enden:

Wurzel(9)!-9/9 = 3!-1 = 3*2*1-1 = 6-1 = 5

Jedem fällt auf, dass alle Zahlen nur mit Neunen ausgedrückt sind, wobei die Rechenoperationen so gewählt sind, dass sich die Zahl richtig ergibt. Dass das geht, ist vielleicht ein kleines Wunder. Was mir und anderen nicht auffiel, ist eine weitere Einschränkung. Jede Zahl mit Ausnahme der 1 ist aus drei Neunen gebildet. Mit der 1 ließe sich das auch bewerkstelligen:

(9/9)^9 = 1^9 = 1*1*1*1*1*1*1*1*1 = 1

Der Kollege Mathematiker hat alle Rechnungen nachverfolgen können bis auf: „Die Sieben ist mir nicht klar.“ Da liegt ein Trick vor und ich habe den Periodenstrich vielleicht zu weit oben gemalt. Im Amerikanischen lässt man bei Dezimalzahlen die führende Null weg. So wird die Primzahlzwillingskonstante z.B. .66016… geschrieben. Im Deutschen sieht das komisch aus: ,66016…, aber bei der Uhr ist es nötig, um keine Ziffer außer der Neun zu verwenden. Der Trick ist nun, dass 0,99999… von 1 nicht zu unterscheiden ist, womit es eine umständliche Darstellung der 1 ist.

Die 1 lässt sich also mit einer Neun als ,9, mit zwei Neunen als 9/9 und mit drei Neunen als (9/9)^9 schreiben. Die 3 kann man mit einer Neun als Wurzel(9) schreiben, womit man durch Subtraktion und Addition von 9/9 auf die 2 und die 4 kommt. Ebenso kommt man von der 9 auf die 8 und die 10. Man kann sie aber auch mit zwei Neunen als 9/Wurzel(9) schreiben, womit man von der 9 auf die 6 und die 12 kommt.

Wir finden z.B. folgende Repräsentationen durch eine, zwei bzw. drei Neunen:

0 9-9
1 ,9 9/9 (9/9)^9
2 Wurzel(9)-,9 (9+9)/9
3 Wurzel(9) 9/Wurzel(9) Wurzel(9)+9-9
4 Wurzel(9)+,9 Wurzel(9)+9/9
5 Wurzel(9)!-,9 Wurzel(9)!-9/9
6 Wurzel(9)! 9-Wurzel(9) 9-9/Wurzel(9)
7 Wurzel(9)!+,9 9-Wurzel(9)+,9
8 9-,9 9-9/9
9 9 9^(9/9)
10 9+,9 9+9/9
11 99/9
12 9+9/Wurzel(9)

Die Uhr soll von der Triple Nine Society stammen, deren Aufnahmebedingung ist, dass der Kandidat schlauer als 99,9 % der Menschheit ist. Das sind 1000 in meiner Stadt, 50 in der Stadt, in der ich groß geworden bin, 1 in meiner Schule dort und ¼ in meiner Firma jetzt.

Das Bild mit den zwei Fehlern stammt von der Agentur The Idealist, wenn ich die Legende richtig verstehe.

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