Karl Gustav Binomi

Für S.

Karl Gustav Binomi (* 26. Dezember 1791; † 18. Oktober 1871) war ein deutscher Mathematiker und Erfinder der binomischen Formeln.

Der kleine Karl multiplizierte gern (er sagte: „muttiplizieren“) und hatte bald das kleine Einmaleins auswendig gelernt. Mehrstellige Zahlen bereiteten ihm aber Schwierigkeiten, weshalb er sich eine Abkürzung überlegte. 23 * 23 zum Beispiel rechnete Binomi so:

23 * 23 = (20 + 3) * (20 + 3) = 20^2 + 2 * 20 * 3 + 3^2 = 400 + 120 + 9 = 529

Er bemerkte, dass die Quersumme von 529 16 ist und die Quersumme von 16 7 und dass 16 + 7 = 23 ist. Er nannte das einen Teufelskreis und trank ein Glas Wunschpunsch darauf.

Am 20. Januar 1842 heiratete er Ada Liebesborte und ging mit ihr nach Saudi-Arabien. Sie bekamen Kinder und die Kinder bekamen wieder Kinder und Ada unterschrieb mit Ada bin Omi. Als sie einmal in einem Laden, der einem Sama gehörte, Kohl kaufte, wurde ihr das unheimlich und sie gingen nach England zurück, wo Karl eine Rechenmaschine zu entwerfen begann, welche die Rechnungen der Quadrate, Quersummen und Summen automatisch ausführen sollte. Er nannte sie SQQ, weil das die schönste aller Permutationen war:

SQQ
QSQ
QQS

Warum es nur drei Möglichkeiten gibt, erklärte er so:

Normalerweise gibt es sechs Möglichkeiten, drei Dinge in eine Reihenfolge zu bringen:

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

Weil er auf einer Fakultät gewesen war, nannte er das drei Fakultät. Aber wenn man B und C nicht auseinanderhalten kann, gibt es nur noch die Hälfte, weil ABC nicht von ACB, BAC nicht von CAB und BCA nicht von CBA zu unterscheiden ist.

Binomi rechnete das so vor:

3!/2 = 3*2*1/2 = 3*2*1/2 = 3*1 = 3

Am Frühstückstisch nannte er die Maschine leger ’s Kuckuck.

Karl werkelte und schraubte, da hatte Ada schon etwas herausgefunden, dass sie die „Häherifikation des Kuckucks“ nannte. Und zwar musste, wenn die Maschine richtig tickt, das herauskommen:

00000000 10000100 01000000

Das sind die Zahlen 0, 132, 64. Ada fiel auf, dass die Ziffer 5 fehlte, wie die Finger an einer Hand. Sie nahm es als Zeichen, dass die Maschine das Rechnen mit Fingern überflüssig machen werde.

Karl verstand nicht: „Was bedeuten diese Folgen von Nullen und Einsen?“

Ada lachte laut auf: „Wo bleibt deine bin Ehre, du verstehst das nicht?“

Karl war’s peinlich, aber er kriegte’s nicht raus.

Ada erklärte: „Eins bedeutet, dass bei der Maschine hinten das wieder rauskommt, was man vorne reingesteckt hat. Null, was anderes.“

Sie zeigte ihm einen Zettel, auf den sie gekritzelt hatte:

$i = 10;
while (1) {
if (sqq($i) = $i) { print „1“; } else { print „0“; }
$i++;
}

Karl verstand zwar nur Bahnhof, aber: „Sag an, Ada! Drei Einsen, bedeutet das, dass auch andere Zahlen im Teufelskreis gefangen sind?“

„Richtig, mein lieber Karl.“

„Welche denn?“

Ada schaute ihn mitleidig an.

„Die erste Zahl ist das Doppelte der Summe der Abstände der ersten und dritten Zahl zur zweiten Zahl.

Die dritte Zahl ist das Dreifache der Summe der Abstände der ersten und dritten Zahl zur zweiten Zahl.“

„Und die Summe der Abstände der ersten und dritten Zahl zur zweiten Zahl selbst, also nicht doppelt und dreifach, ist nicht im Teufelskreis?“ fragte Karl nach.

„Nein,“ sagte Ada, „bei dieser Zahl ist’s Kuckuck das Doppelte ihrer selbst.“

Karl schwirrte der Kopf. Textaufgaben waren nicht so sein Ding. Aber er wollte doch wissen: „Gibt’s denn keine größeren mehr?“

„Das weiß ich nicht, der Algorithmus rechnet noch.“

Karl dachte nach und kam zum Schluß: „Nein, ’s gibt keine größeren mehr.

Eine k-stellige natürliche Zahl n ist größer als 10^(k-1) und kleiner als 10^k. Quadriert ist sie kleiner als 10^k^2 = 10^(2*k). Dessen Quersumme ist kleiner als 2*k*10 = 20*k. Die Quersumme einer Zahl kleiner als 20*k ist zumindest kleiner als sie selbst, also kleiner als 20*k.

Mit den Abschätzungen

10^(k-1) < n

und

Q(n^2) + Q(Q(n^2)) < 20*k + 20*k = 40*k

gewinnen wir aus der Gleichung

n = Q(n^2) + Q(Q(n^2))

eine Einschränkung für k:

10^(k-1) < 40*k

Ab k = 4 gilt diese Ungleichung nicht mehr, was bedeutet, dass höchstens dreistellige natürliche Zahlen als Lösung in Frage kommen."

Ada brach die Maschine ab, indem sie die Kohlenpfanne unter dem Kessel wegzog, und korrigierte:

while (1) { << while ($i<1000) {

Beim Minusrechnen hatte Karl Gustav Binomi Schwierigkeiten. Wenn eine zweistellige Zahl abzuziehen war, vertat er sich immer mit den Überträgen. Er fand dafür folgende Lösung. Die Wurzel aus einer zweistelligen Zahl ist immer eine einstellige Zahl, die man leicht abziehen kann. Beweis: Die Wurzel aus 100 ist 10, daher sind die Wurzeln aller Zahlen kleiner als 100 kleiner als 10. Beispielsweise:

36 – 16 = 6^2 – 4^2 = (6 + 4) * (6 – 4) = 10 * 2 = 20
81 – 25 = 9^2 – 5^2 = (9 + 5) * (9 – 5 ) = 14 * 4 = 56
225 – 81 = 15^2 – 9^2 = (15 + 9) * (15 – 9) = 24 * 6 = 144

Beim letzten Beispiel fiel ihm auf, dass 144 eine Quadratzahl ist. Er malte sich ein Dreieck mit den Seitenlängen 9, 12 und 15 in den Sand und maß nach, dass zwischen 9 und 12 ein rechter Winkel herrscht. Er verglich es mit dem Zifferblatt seiner Uhr und erkannte, dass er recht hatte. Jedoch hätte nach seiner Uhr auch zwischen 12 und 15 ein rechter Winkel herrschen müssen. Im Sandkasten maß er nach und nach, doch kam er nicht über den Arkustangens von drei Viertel hinaus. Das sind 36,87 Grad, gerade die Körpertemperatur eines gesunden Mannes, dachte er, da muss man sich nicht hinlegen. Zwischen 9 und 15 sollte der Uhr zufolge sogar ein ganz aufgeklappter Winkel liegen, aber im Sandkasten waren es nur 53,13 Grad, nicht mal ein rechter, dachte er, aber bei solchem Fieber sollte man sich lang ins Bett strecken.

Am 18. Oktober 1871 starb Binomi.

Auf den Tag genau 113 Jahre später (die Quersumme ist 5, wie die Finger an einer Hand) wurde jemand Bestimmtes geboren.

Ada war schon am 27. November 1852 gestorben. Die Quersummen sind 9, 2 und 16, was erstaunt, denn:

9 * 2 = 18
9 – 2 + 16 = 23
9 + 2 + 16 = 27

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