Früher hell

Wenige Tage nach der Wintersonnenwende will ich wissen, wieviel es täglich früher hell wird.

Nützlich wird das, wenn ich das Hellwerden an der Bahnsteigkante eine Viertelstunde nach Hausverlassen feststelle und wissen will, wielange ich noch warten muss, bis es beim Hausverlassen schon hell wird.

Erst sollte es ganz langsam gehen, dann schneller, bis zur Frühjahrstagundnachtgleiche die tägliche Veränderung am größten sein sollte, dann wieder langsamer bis zur Sommersonnenwende.

Ohne es aus den 3D-Rotationen herleiten zu können, möchte ich die Sonnenaufgangszeiten deshalb mit einem Kosinus modellieren:

a + b*cos(c*n)

Dabei sollen a die Sonnenaufgangszeit zur Tagundnachtgleiche und n die Tage seit Wintersonnenwende sein. Damit der Kosinus bei n = 365/4 null wird, ergibt sich c als (π/2)*(4/365) = 2*π/365.

Meine zweite Annahme ist nach Gefühl, dass im Winter 8, im Sommer 16 Stunden Tageslicht herrschen. Aus dieser Spreizung ergibt sich b als 2 Stunden und die Sonnenaufgangszeit n Tage nach Wintersonnenwende als:

a + 2*cos(2*π*n/365)

Die Frage war aber nicht nach der Sonnenaufgangszeit, sondern nach der Differenz zum Vortag. Bei der Differenzbildung fällt a weg und es bleibt:

2*(cos(2*π*(n-1)/365) – cos(2*π*n/365))

In einer Formelsammlung findet sich die Identität:

cos(x) – cos(y) =
2*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)

Beweis:
Substituiere v = (y+x)/2 und w = (y-x)/2. Damit sind v + w = (y+x+y-x)/2 = y
und v – w = (y+x-y+x)/2 = x.
Per Additionstheorem sind
cos(v-w) = cos(v)*cos(w) + sin(v)*sin(w)
cos(v+w) = cos(v)*cos(w) – sin(v)*sin(w)
Bildet man die Differenz, fällt der erste Term weg und es bleibt das Doppelte vom zweiten:
cos(v-w) – cos(v+w) = 2*sin(v)*sin(w)
Rücksubstition erzeugt das zu Beweisende:
cos(x) – cos(y) = 2*sin((y+x)/2)*sin((y-x/2)

In unserem Fall sind x = 2*π*(n-1)/365 und y = 2*π*n/365 und damit y+x = 2*π*(2*n-1)/365 und y-x = 2*π/365. Der zweite Sinus ist nicht mehr von n abhängig, sondern zu einer Konstanten geworden:

4*sin(π*(2*n-1)/365)*sin(π/365)

Die tägliche Differenz geht mit dem Sinus. Sie beginnt bei null, steigt zunächst linear an und nähert sich zur Frühjahrstagundnachtgleiche hin ihrem maximalen Wert, wobei sie sich kaum noch verändert (Die Ableitung des Sinus ist wiederum der Kosinus, der zur Frühjahrstagundnachtgleiche den Wert null hat).

Exemplarische Werte:

Datum Tage seit WSW Früher hell als gestern in Sekunden
24.12. 3 5
26.12. 5 10
31.12. 10 20
5.1. 15 31
20.1. 30 60
7.2. 48 90
9.3. 78 120
22.3. 91 124

Im Frühjahr wird es täglich 2 Minuten früher hell. Bin ich eine Viertelstunde aus dem Haus, als es hell wird, muss ich noch eine Woche warten, bis es hell wird, wenn ich aus dem Haus gehe.

Schreibe einen Kommentar

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s


%d Bloggern gefällt das: