Fibonacci und Benford

Sophia Amalie Antoinette Infinitesimalia schreibt im FAZ-Blog „Deus ex Machina“ über die Benford-Verteilung.

Der Wikipedia-Eintrag gibt folgende Verteilung für erste Ziffern:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6

und behauptet, dass die ersten 30 Fibonacci-Zahlen dieser Verteilung schon erstaunlich nahe kämen.

Tantalusaufgabe, das zu verifizieren. Erst mal zählen:

Nr Fibonacci-Zahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0
4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0
5 5 2 1 1 0 1 0 0 0 0
6 8 2 1 1 0 1 0 0 1 0
7 13 3 1 1 0 1 0 0 1 0
8 21 3 2 1 0 1 0 0 1 0
9 34 3 2 2 0 1 0 0 1 0
10 55 3 2 2 0 2 0 0 1 0
11 89 3 2 2 0 2 0 0 2 0
12 144 4 2 2 0 2 0 0 2 0
13 233 4 3 2 0 2 0 0 2 0
14 377 4 3 3 0 2 0 0 2 0
15 610 4 3 3 0 2 1 0 2 0
16 987 4 3 3 0 2 1 0 2 1
17 1597 5 3 3 0 2 1 0 2 1
18 2584 5 4 3 0 2 1 0 2 1
19 4181 5 4 3 1 2 1 0 2 1
20 6765 5 4 3 1 2 2 0 2 1
21 10946 6 4 3 1 2 2 0 2 1
22 17711 7 4 3 1 2 2 0 2 1
23 28657 7 5 3 1 2 2 0 2 1
24 46368 7 5 3 2 2 2 0 2 1
25 75025 7 5 3 2 2 2 1 2 1
26 121393 8 5 3 2 2 2 1 2 1
27 196418 9 5 3 2 2 2 1 2 1
28 317811 9 5 4 2 2 2 1 2 1
29 514229 9 5 4 2 3 2 1 2 1
30 832040 9 5 4 2 3 2 1 3 1

und in Prozente umrechnen:

Nr F-Zahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 100.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
2 1 100.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
3 2 66.7 33.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
4 3 50.0 25.0 25.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
5 5 40.0 20.0 20.0 0.0 20.0 0.0 0.0 0.0 0.0
6 8 33.3 16.7 16.7 0.0 16.7 0.0 0.0 16.7 0.0
7 13 42.9 14.3 14.3 0.0 14.3 0.0 0.0 14.3 0.0
8 21 37.5 25.0 12.5 0.0 12.5 0.0 0.0 12.5 0.0
9 34 33.3 22.2 22.2 0.0 11.1 0.0 0.0 11.1 0.0
10 55 30.0 20.0 20.0 0.0 20.0 0.0 0.0 10.0 0.0
11 89 27.3 18.2 18.2 0.0 18.2 0.0 0.0 18.2 0.0
12 144 33.3 16.7 16.7 0.0 16.7 0.0 0.0 16.7 0.0
13 233 30.8 23.1 15.4 0.0 15.4 0.0 0.0 15.4 0.0
14 377 28.6 21.4 21.4 0.0 14.3 0.0 0.0 14.3 0.0
15 610 26.7 20.0 20.0 0.0 13.3 6.7 0.0 13.3 0.0
16 987 25.0 18.8 18.8 0.0 12.5 6.3 0.0 12.5 6.3
17 1597 29.4 17.6 17.6 0.0 11.8 5.9 0.0 11.8 5.9
18 2584 27.8 22.2 16.7 0.0 11.1 5.6 0.0 11.1 5.6
19 4181 26.3 21.1 15.8 5.3 10.5 5.3 0.0 10.5 5.3
20 6765 25.0 20.0 15.0 5.0 10.0 10.0 0.0 10.0 5.0
21 10946 28.6 19.0 14.3 4.8 9.5 9.5 0.0 9.5 4.8
22 17711 31.8 18.2 13.6 4.5 9.1 9.1 0.0 9.1 4.5
23 28657 30.4 21.7 13.0 4.3 8.7 8.7 0.0 8.7 4.3
24 46368 29.2 20.8 12.5 8.3 8.3 8.3 0.0 8.3 4.2
25 75025 28.0 20.0 12.0 8.0 8.0 8.0 4.0 8.0 4.0
26 121393 30.8 19.2 11.5 7.7 7.7 7.7 3.8 7.7 3.8
27 196418 33.3 18.5 11.1 7.4 7.4 7.4 3.7 7.4 3.7
28 317811 32.1 17.9 14.3 7.1 7.1 7.1 3.6 7.1 3.6
29 514229 31.0 17.2 13.8 6.9 10.3 6.9 3.4 6.9 3.4
30 832040 30.0 16.7 13.3 6.7 10.0 6.7 3.3 10.0 3.3

Nur, was ist nahe? Vielleicht die prozentuale Abweichung vom Benford-Wert über alle neun Ziffern mitteln:

Nr. Fibonacci-Zahl Abweichung
1 1 114.7
2 1 114.7
3 2 101.2
4 3 89.8
5 5 84.4
6 8 87.5
7 13 81.8
8 21 74.4
9 34 74.8
10 55 80.4
11 89 93.9
12 144 87.5
13 233 83.6
14 377 84.4
15 610 68.4
16 987 57.7
17 1597 51.5
18 2584 51.5
19 4181 42.2
20 6765 42.2
21 10946 36.8
22 17711 33.5
23 28657 33.3
24 46368 26.5
25 75025 18.2
26 121393 17.6
27 196418 18.7
28 317811 18.4
29 514229 19.9
30 832040 26.3

Demnach wäre es nach 26 Fibonacci-Zahlen am nächsten an Benford dran gewesen. Aber übers Ganze gesehen scheint es sich zu verbessern. Weiter geguckt liegt die Abweichung nach 100 Fibonacci-Zahlen mit

Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9
100 30.0 18.0 13.0 9.0 8.0 6.0 5.0 7.0 4.0

bei 10.0 und nach 1000 mit

Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1000 30.1 17.7 12.5 9.6 8.0 6.7 5.6 5.3 4.5

bei 1.4 Prozent.

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