Archimedes

Horst Geyers Über die Dummheit erwähnt auf Seite 223 die Erkenntnis des Archimedes, „dass sich die Inhalte eines Kegels, einer Halbkugel und eines Zylinders von gleicher Basis und Höhe wie 1 : 2 : 3 verhalten“:

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Davon nie gehört, deshalb nachprüfen.

Eine Halbkugel ist so hoch wie ihr Radius r. Für das Kugelvolumen kenne ich die Formel (4/3)*π*r^3. Also hat die Halbkugel das Volumen (2/3)*π*r^3.

Ein Zylinder hat das Volumen Kreisfläche mal Höhe, also π*r^2*h, und wenn die Höhe gleich dem Radius ist, dann ist das Volumen π*r^3, was sich zu (3/3)*π*r^3 erweitern lässt.

Das Volumen eines Kegels muss ich durch Integrieren gewinnen. Steht er auf dem Kopf, ist die Schnittfläche auf der Höhe x ein Kreis der Fläche π*x^2. Kein Faktor vor dem x, weil auf der Höhe r die Grundfläche π*r^2 erreicht werden soll. Integration der Kreisflächen von x = 0 bis x = r ergibt (1/3)*π*r^3.

Setzt man sie ins Verhältnis, haben die drei Volumina den Faktor (1/3)*π*r^3 gemeinsam und verhalten sich – Halbkugel zu Zylinder zu Kegel – wie 2 : 3 : 1.

Mich fragend, woher Archimedes das Kugelvolumen kannte, finde ich, dass er es ausgerechnet aus Zylinder und Kegel erst gewonnen hat, nämlich mit der schönen Vorgehensweise, auf jeder Höhe Flächeninhalte zu vergleichen:

archimedes

Der Radius des Halbkugelschnitts auf der Höhe x ist nach Pythagoras Wurzel(r^2-x^2), die Kreisfläche also π*(r^2-x^2). Der Zylinder hat in jeder Höhe seine Grundfläche π*r^2. Der auf dem Kopf stehende Kegel hat in der Höhe x die Fläche π*x^2. Der Ring also die Fläche π*r^2-π*x^2 = π*(r^2-x^2). Wenn die Körper gleich hoch und in jeder Höhe ihre Schnittflächen gleich groß sind, sind auch die Volumina gleich groß. Auf der einen Seite haben wir die Halbkugel, auf der anderen Seite den Zylinder minus den Kegel, q.e.d..

Jetzt wollte ich nur noch wissen, woher Archimedes das Kegelvolumen kannte. Offenbar hat es Eudoxos zuvor bewiesen, aber verstehe nicht, wie.

Gut, dass drei gleiche Pyramiden sich zu einem Würfel zusammensetzen lassen, krieg ich gebastelt, aber einen smoothen Switch zum Kegel nicht hin:

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Bekannter ist Archimedes ja für den zerstörungsfreien Test, ob die Tyrannenkrone aus echtem Gold ist, nämlich durch Wiegen und Eintauchen. ΕΥΡΗΚΑ!

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