Mathe-Olympiade

Der Kollege brachte ein Matherätsel mit, das in der Zeitung gestanden hatte, für Neuntklässler:

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Ich freute mich und versicherte, es gleich mal anzugehen, notfalls auch morgen oder am Wochenende dran zu tüfteln, bitte die Lösung nicht verraten!

Der Kollege verriet, dass es drei Lösungswege gebe, einen langen, einen etwas kürzeren und einen eleganten, ganz kurzen.

Wahrscheinlich war es der lange, den ich anging, indem ich die Zahl durch ihre sechs Ziffern a1a2a3a4a5a6 darstellte. Abschneiden und Hintansetzen der ersten macht daraus a2a3a4a5a6a1.

Jetzt soll a2a3a4a5a6a1 = 3*a1a2a3a4a5a6 sein. Damit das Dreifache sechsstellig bleibt, kommen für a1 nur 1, 2 oder 3 in Frage.

Zwar spielen zwischen den Ziffern Überträge eine Rolle, aber bei den beiden letzten Ziffern noch nicht. Eine Wertetabelle für die Dreifachen zeigt, dass alle neun sich in der Endziffer unterscheiden:

Ziffer mal 3
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21
8 24
9 27

Daher lässt sich von der Endziffer des Dreifachen auf das Einfache schließen. Es treten keine mehrere Möglichkeiten und Verzweigungen auf.

a1 ist also die Endziffer des Dreifachen von a6. Nennen wir die Zehnerstelle des Dreifachen ü6, denn sie müssen wir im Weiteren berücksichtigen. Die möglichen Werte für a1 führen also nun eindeutig auf welche für a6 und ü6:

a1    1 2 3
a6 7 4 1
ü6 2 1 0

Vulgo: 3*7 = 21, 3*4 = 12, 3*1 = 3.

Diese drei Stränge sind weiter zu verfolgen. Ab der vorletzen Stelle, die jetzt dran ist, lässt sich das so formalisieren:

3*an-1 + ün = 10*ün-1 + an
3*an-1 = 10*ün-1 + an – ün

Man schreitet von n nach n-1 vor. an und ün sind aus dem vorigen Schritt bekannt und erzwingen, siehe Wertetabelle, an-1 und ün-1:

a1 1 2 3
a6 7 4 1
ü6 2 1 0
a66    5 3 1
a5 5 1 7
ü5 1 0 2
a55 4 1 5
a4 8 7 5
ü4 2 2 1
a44 6 5 4
a3 2 5 8
ü3 0 1 2
a33 2 4 6
a2 4 8 2
ü2 1 2 0
a22 3 6 2
a1 1 2 4

Die dritte Spalte führt zu einem anderen a1, als von dem ausgegangen wurde, und es bleiben die beiden ersten Spalten als Lösungen, das sind die Zahlen 142857 und 285714.

Anstatt die Zahlen zu nennen, sagte ich dem Kollegen, dass die eine Lösung das Doppelte der anderen sei. Das überzeugte ihn, dass ich sie hatte, und er nannte dann selbst die kleinere Zahl mit einem angehängten Fragezeichen in der Stimme, die mit meiner übereinstimmte. Wo ich von hinten gearbeitet hatte und das Ganze so undurchsichtig und wirr war, dass ich fürchtete, es nicht reproduzieren zu können, hatte er von vorne gearbeitet, wobei die Zahlen, die mal drei zu nehmen waren, immer länger wurden, sodass er sich mit einem Taschenrechner beholfen hatte. Dafür war es klarer bei ihm.

Eine Hilfe hatte er mir gegeben, als ich laut vermutete, dass man mit den Überträgen arbeiten müsse, und er mir das als auf dem rechten Weg bestätigte.

*

Nun wollte ich aber auch die elegante Lösung finden, die einen die Augen aufreißen lasse, hatte er gesagt. Wieder half er mir, dass es genüge, eine Gleichung mit zwei Unbekannten zu lösen. Eine solche hatte ich schon mal aufgestellt, aber nichts draus gemacht. Ich blätterte durch die schon einigen beschriebenen Blätter, um sie wiederzufinden.

Der Schnitt geschieht zwischen der ersten Ziffer und dem Rest. Daher genügt es, die Zahl so darzustellen:

z = 100.000*a + b

a ist ihre erste Ziffer zwischen 1 und 9 und b der Rest, eine fünfstellige Zahl.

Beim Abschneiden der ersten Ziffer und Ansetzen am Ende verliert sie ihren Stellenwert 100.000. Der Rest rückt eine Zehnerstelle auf, ist also mit 10 zu multiplizieren:

z‘ = 10*b + a

Diese beiden Zahlen sollen im Verhältnis 1 zu 3 stehen, was folgende Gleichung ergibt, die sich nach b auflösen lässt:

z‘ = 3*z
10*b + a = 3(100.000*a + b)
10*b + a = 300.000*a + 3*b
7*b = (300.000-1)*a
7*b = 299.999*a
b = (299.999/7)*a
b = 42.857*a

Die Ziffer a ist eine ganze Zahl zwischen 1 und 9, und wir können für jede von ihnen b ausrechnen:

a    b
1 42857
2 85714
3 128571
4 171428
5 214285
6 257142
7 299999
8 342856
9 385713

Nur zwei Reste b sind fünfstellig und durch Anhängen an die führende Ziffer a ergeben sie die beiden Lösungen.

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*

Seine mittlere Lösung hat er mir auf Verlangen auch noch vorgeführt, aber sie habe ich vergessen.

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