Ampelwartezeit

Die Rotphase einer bestimmten Ampel dauert 3 Minuten, ihre Grünphase 2 Minuten. Wie lange muss ein Autofahrer durchschnittlich vor ihr warten?

Die Vorgesetzte (Fahrradfahrerin) meinte, drei Minuten seien aber lang.

Der Kollege Mathematiker berechnete, dass der Autofahrer, kommt er während der Rotphase an die Ampel, im Schnitt 1,5 Minuten warten müsse. Die Rotphase mache 60 % der Gesamtphase aus, daher 1,5 * 0,6 = 3 * 0,3 = 0,9 Minuten oder 54 Sekunden.

Ich hatte an eine grafische Lösung gedacht, indem ich Wartezeit gegen Ankunftszeit aufzeichne:

wartezeit_ampel

Kommt er während der Rotphase an die Ampel, muss er immer den Rest der Rotphase abwarten. Das sind anfangs 3 Minuten, in der Mitte 1,5 Minuten und am Ende 0 Minuten. Daher die Form des Dreiecks, die Höhe irgendwo ist der Abstand zum Ende hin. Während der Grünphase muss er gar nicht warten.

Die Fläche des Dreiecks beträgt 3*3/2 = 9/2 = 4,5 Minuten^2. Die mittlere Wartezeit erhält man, indem man ein Rechteck derselben Fläche über die ganze Phase, das sind 3 + 2 = 5 Minuten, verteilt. Dessen Höhe ist dann die mittlere Wartezeit. Also 4,5 / 5 = 0,9 Minuten.

Wenn die drei Minuten unrealistisch lang sind, kann man es runterskalieren? Warum nicht? Will man die nachteilige längere Rotphase so beibehalten, ist es ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, der Rot- und der Grünphase. Oder besser drei, wenn man den Zielwert, die mittlere Wartezeit, mit einem vernünftigen Wert ausstatten will:

R/G = 3/2
R*R/(2*(R+G)) = W

Die erste Gleichung nach R aufgelöst in die zweite einsetzen:

G*G*9/(4*2*(G*3/2+G)) = G*G*9/(4*2*5*G/2) = G*G*9/(20*G) = G*9/20 = W

Oder gibt man den Zielwert W vor, welche G = W*20/9 und R = W*60/18 = W*30/9 ergeben sich dann? Möglichst alle drei Zahlen relativ glatt.

Warum nicht in Sekunden statt Minuten rechnen? Dagegen gibt es keinen Grund. Erst Zielwert von 15 Sekunden probiert: G = 100/3 Sekunden, nicht so gut. Geht’s mit 18 Sekunden besser? G = 40 Sekunden, R = 1 Minute. Gut, aber vielleicht immer noch zu lang. Nehmen wir die Hälfte:

Die Rotphase einer bestimmten Ampel dauert 30 Sekunden, ihre Grünphase 20 Sekunden. Wie lange muss ein Autofahrer durchschnittlich vor ihr warten?

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