Neigung

Die U-Bahn fuhr zwischen Kalk Post und Deutz Fachhochschule langsamer als sonst. Normalerweise fährt sie 30 km/h und in der Kurve sind die Schienen so verlegt, dass die Fliehkraft durch die Neigung der Bahn aufgefangen wird. Jetzt fuhr sie aber nur 10 km/h und man musste sich um 10° neigen, um aufrecht zu sitzen. Frage: Welchen Radius hat die Kurve?

Die Fliehkraft beträgt m*v^2/r und wirkt parallel zur Erdoberfläche nach außen. Die Gravitation beträgt m*g mit g = 9,81 m/s^2 und wirkt senkrecht nach unten. Sie lässt sich aufspalten in einen Teil, der senkrecht ins geneigte Gleisbett wirkt und einen Teil, welcher senkrecht zu diesem ersten Teil wirkt. Der zweite Teil beträgt m*g*sin(α), wenn α der Neigungswinkel des Gleisbetts ist. Dieser zweite Teil verläuft aber nicht parallel zum Erdboden, weshalb er nochmal mit cos(α) multipliziert werden muss, um entgegengesetzt der Fliehkraft zu wirken. Gefordert ist, dass diese beiden Kräfte sich aufheben, was die Gleichung ergibt:

m*v^2/r = m*g*sin(α)*cos(α)

Die Geschwindigkeit v ist 30 km/h, die Masse des Passagiers kürzt sich weg und es bleiben zwei Unbekannte r und α. Aufgelöst nach r:

r = v^2/(g*sin(α)*cos(α))

Aus der Beobachtung, dass ein Passagier sich um 10° neigen muss, um aufrecht zu sitzen. sollte sich der Radius nun ausrechnen lassen.

Die 10° sind gegen den Boden des Fahrgastraums, also gegen α zu verstehen. Der Passagier hat also die Neigung α – 10° gegen die Senkrechte. Seine Schwerkraft wirkt senkrecht nach unten, sie lässt sich wieder in einen Teil senkrecht zum Gleisbett und einen zweiten senkrecht zum ersten aufspalten. Der zweite Teil hat den Faktor sin(α – 10°). Er ist aber noch nicht parallel zum Erdboden, dafür muss noch der Faktor cos(α – 10°) davor.

Nun haben wir eine zweite Gleichung mit zwei Unbekannten:

m*v^2/r = m*g*sin(α – 10°)*cos(α – 10°)

Die Geschwindigkeit v ist diesmal 10 km/h, die Masse kürzt sich wieder weg und nach r aufgelöst findet man:

r = v^2/(g*sin(α – 10°)*cos(α – 10°)

Die Additionstheoreme geben:

r = v^2/(g*(sin(α)*cos(10°) – sin(10°)*cos(α))*(cos(α)*cos(10°) + sin(α)*sin(10°))

Die Werte für sin(10°) = 0,174 und cos(10°) = 0,985 eingesetzt:

r = v^2/(g*(sin(α)*0,985 – 0,174*cos(α))*(cos(α)*0,985 + sin(α)*0,174)

Wenn man beide Gleichungen jetzt gleichsetzt (vorher die entsprechenden v einsetzen), müsste sich α rauskriegen lassen. Mal sehen:

900/(9,81*sin(α)*cos(α)) = 100/(9,81*(0,985*sin(α) – 0,174*cos(α))*(0,985*cos(α) + 0,174*sin(α))

900*9,81*(0,985*sin(α) – 0,174*cos(α))*(0,985*cos(α) + 0,174*sin(α)) = 100*9,81*sin(α)*cos(α)

Prima, dass man wenigstens 9,81 schon mal wegkürzen kann, und das Hundertfache auch:

9*(0,985*sin(α) – 0,174*cos(α))*(0,985*cos(α) + 0,174*sin(α)) = sin(α)*cos(α)

Und jetzt? Müsste man links ausmultiplizieren:

8,732*sin(α)*cos(α) + 1,543*sin^2(α) – 1,543*cos^2(α) – 0,272*sin(α)*cos(α) = sin(α)*cos(α)

7,460*sin(α)*cos(α) + 1,543*sin^2(α) – 1,543*cos^2(α) = 0

Und jetzt? Müsste ich vielleicht sin^2(α) durch 1 – cos^2(α) ersetzten. Dann würde 1,543(sin^2(α) – cos^2(α)) zu 1,543*(1 – 2*cos^2(α)). Links auch Sinus durch Kosinus ersetzen und Quadrieren ergibt:

55,652*(1 – cos^2(α))*cos(α) = 2,381*(2*cos^2(α) – 1)^2

Uff, das wird eine Gleichung vierter Potenz für den Kosinus:

55,652*cos(α) – 55,652*cos^3(α) = 9,524*cos^4(α) – 4,762*cos^2(α) + 2,381

cos^4(α) + 5,843*cos^3(α) – 0,5*cos^2(α) – 5,843*cos(α) + 2,381 = 0

Und jetzt? Ich gebe auf.

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