2^4 = 4^2, et al.?

Als es noch 16 Minuten bis Feierabend waren, sprach ich zum mathefeindlichen Kollegen: „Noch 2^4 (sprich: 2 hoch 4) Minuten. Oder 4^2, was dasselbe ist.“

Daraus ergab sich die Frage, ob es für die Gleichung x^y = y^x noch andere Lösungen gebe. Ich tippte auf nein und meinte, der Erfolg beruhe vielleicht darauf, dass 2^2 = 2*2 sei. Der mathematische Kollege jedoch führte ins Feld: „Und was ist mit 1 hoch 1?“ Also zwei Lösungen? Es dauerte geraume Weile, bis ich begriff, dass alle x = y die Gleichung lösen.

Zusammen mit dem mathematischen Kollegen dann versucht, aus der Gleichung x^y = y^x ihre Lösungen herzuleiten. Er logarithmierte und kam auf ln(y)/ln(x) = y/x, aber dann ging es nicht weiter. Ich fragte: „Eine Freistellung nach y funktioniert nicht?“ Und dementierte dann selbst: „Nein, dann gäbe es ja unendlich viele Lösungen außer denen, wo x und y gleich sind.“

Die Zeit pressierte und wir mussten unsere Überlegungen abbrechen.

Zuhause nun finde ich über Google, dass es neben (2, 4) auch eine Lösung (9/4, 27/8) gibt. Ausprobieren mit Excel bestätigte das.

Diese Zahlen sind verdächtig, denn 9 = 3^2, 4 = 2^2, 27 = 3^3 und 8 = 2^3, sodass die Lösung regelmäßig aussieht: (3^2/2^2, 3^3/2^3) = ((3/2)^2, (3/2)^3). Kann man die erste Lösung auch auf so eine Form bringen? Ja, klar: (2, 4) = ((2/1)^1, (2/1)^2), sämtliche Zahlen um Eins vermindert.

Das lenkt den Verdacht auf eine Parametrisierung

x = ((t+1)/t)^t
y = ((t+1)/t)^(t+1)

die, gibt man t beliebig vor, immer zur Gleichheit von x^y und y^x führt, wie Excel bestätigt.

Jetzt ist die Frage nur noch, wie man das beweisen kann:

Für alle t ε ℝ erfüllen die Paare
x = ((t+1)/t)^t
y = ((t+1)/t)^(t+1)
die Gleichung x^y = y^x.
Wie kann man das beweisen?
#followerpower

Leider sehe ich den mathematischen Kollegen erst am Montag wieder, hab die Behauptung, die ich ihm vorlegen will, aber schon mal aufgeschrieben:

IMG_9594


UPDATE 06.04.2013

Glaub, ich hab einen Beweis:

IMG_9595

Darin blase ich (t+1)/t ordentlich auf, indem ich es hoch 1 = t/t setze, um den Exponenten 1/t dann hochwandern zu lassen. Am Ende nutze ich die Identitäten:

y_durch_x

y_minus_x

Die Idee des Teilens durch x^x stammt von Doctor Vogler.

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