Oberflächlich

Beim Plantschen in der Badewanne gedacht, dass beim Plantschen mehr Wärme und Feuchtigkeit in die Luft abgegeben werden als beim stillen Liegen. Sie hängen von der Oberfläche ab. In der Badewanne ist eine spiegelglatte Oberfläche minimal. Jedes Aufwirbeln von Wasser vergrößert die Fläche zwischen Wasser und Luft, durch die Wärme und Feuchtigkeit diffundieren können.

Anders, wenn das Wasser komplett von Luft umgeben ist wie beim Regentropfen. Hier müsste die Kugel die optimale Form sein, was zu beweisen oder zumindest zu begründen wäre.

Eine Kugel hat das Volumen

oberflaechen_formel_1_0

Ihre Oberfläche ist

oberflaechen_formel_2_1

Ein Würfel hat das Volumen

oberflaechen_formel_3_0

und die Oberfläche

oberflaechen_formel_4_0

Damit der Würfel das gleiche Volumen hat wie die Kugel, muss gelten

oberflaechen_formel_5_1

oberflaechen_formel_5_2

oberflaechen_formel_6_1

Die Oberflächen verhalten sich dann zueinander wie

oberflaechen_formel_7_2

Bei gleichem Volumen hat ein Würfel also eine größere Oberfläche als eine Kugel.

Er hat aber spitze Ecken. Was, wenn man sie abrunden täte? Ein Ellipsoid hat das Volumen

oberflaechen_formel_9

Nehmen wir der Einfachheit halber ein Rotationsellipsoid:

oberflaechen_formel_10

Seine Oberfläche ist

oberflaechen_formel_14_0

mit

oberflaechen_formel_15

Sein Volumen ist gleich dem der Kugel, wenn gilt

oberflaechen_formel_11

oberflaechen_formel_12

oberflaechen_formel_13

Seine Oberfläche ist dann

oberflaechen_formel_16

mit

oberflaechen_formel_17

Nun verhalten sich die Oberflächen von Ellipsoid und Kugel zueinander wie

oberflaechen_formel_18

OpenOffice Calc berechnet folgende Werte:

b/r A_E/A_V
0,5 1,58
0,6 1,33
0,7 1,17
0,8 1,07
0,9 1,02
1 1

Je exzentrischer das Ellipsoid, desto größer seine Oberfläche im Vergleich mit der Kugel.

Wenn das für das Rotationsellipsoid schon gilt, dürfte es für das triaxiale erst recht gelten, weil es noch mehr von der Kugel abweicht, glaube ich.

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