Verhältnisse

Mein Freund Gregor hat auf Facebook eine schwierige Matheaufgabe gestellt. Es geht um regelmäßige Vielecke. Regelmäßige Vielecke haben gleiche Seitenlängen und Innenwinkel.

Schrauben wir die Anzahl der Ecken n langsam hoch, finden wir:

viereck

n = 4: a / h = 100 %

fuenfeck

n = 5: a / h = 61,8 %

sechseck

n = 6: a / h = 50 %

siebeneck

n = 7: a / h = 35,7 %

achteck

n = 8: a / h = 29,3 %

neuneck

n = 9: a / h = 22,7 %

Gregor fragt nun:

Bei welchem n wird das Verhältnis a / h kleiner als

a) 10 %
b) 1 %
c) 0,1 %?

Vielleicht kann das jemand analytisch lösen? Ich kann es, wenn überhaupt, dann nur, indem ich jedes Vieleck mit seinen Eckpunkten konstruiere und die beiden Längen aus deren Koordinaten bestimme. D.h. ich müsste ausprobieren, bei welchem n man in die Nähe der angegebenen Grenzen käme, ähnlich wie eine Intervallschachtelung zur Bestimmung einer Nullstelle. Any comments?

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