Induktion

Beim Lesen über Poppers Falsifikationismus über das Induktionsproblem gestolpert. Innerlich protestiert, weil in der Mathematik ein Beweis durch vollständige Induktion felsenfest korrekt ist. Zur Begründung will ich das Verfahren im Folgenden mal beschreiben.

Wenn ich behaupte: 1 + 2 + 3 + … + n = n*(n+1)/2, wie kannst du das beweisen? Durch vollständige Induktion. Meine Behauptung ist, dass die Formel für alle natürlichen Zahlen n gilt. Natürliche Zahlen sind 1, 2, 3 und so weiter.

Zunächst zeigt frau, dass die Formel für die erste natürliche Zahl gilt, das nennt man Induktionsverankerung. Also tun wir das: Links steht nur ein Summand, nämlich die 1. Setzt man rechts für n 1 ein, dann bekommt man: 1*(1+1)/2. Das ist ausgerechnet: 1*2/2 = 1. Linker und rechter Teil der Formel stimmen überein, die Induktionsveranksieung ist bewiesen.

Der zweite Teil ist der Induktionsschluss. Er ist etwas schwsie zu verstehen. Man beweist, dass, falls die Formel für irgendeine natürliche Zahl n gilt, sie dann auch für die nächste Zahl n+1 gilt. Damit zeigt mann: Aus der Gültigkeit für n ergibt sich die Gültigkeit für n+1.

Machen wir das mal. Wir schreiben die linke Seite für n+1 hin, benutzen die Formel für n und gucken, ob sich das ergibt, was die rechte Seite beim Einsatz von n+1 besagen würde:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n+1) = n*(n+1)/2 + (n+1) = n*(n+1)/2 + 2*(n+1)/2 = (n+2)*(n+1)/2 = (n+1)*((n+1)+1)/2

Damit ist der Induktionsschluss bewiesen. Insgesamt haben wir nun gezeigt, dass die Formel für die erste natürliche Zahl gilt. Wegen des bewiesenen Induktionsschlusses gilt sie dann auch für die zweite. Ausgehend von der zweiten können wir auf ihre Gültigkeit für die dritte schließen. Und so weiter und so fort. Mit Verankerung und Schluss erreichen wir alle natürlichen Zahlen, daher gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen.

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Nicht funktioniert der Beweis für die Behauptung:

1 – 2 + 3 – 4 + … – n = n

Zwar stimmt die Induktionsverankerung, doch der Schluss klappt nicht:

1 – 2 + 3 – 4 + … – n + (n+1) = (1 – 2 + 3 – 4 + … – n) + (n+1) = n + (n+1) = 2*n + 1 != n+1

Sondern es ist bei geradem n -n/2 und bei ungeradem (n+1)/2. Das nur am Rande. Beweis dem Leser überlassen.

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Vollständige Induktion können wir auch beim Beweis des Innenwinkelsatzes zum Einsatz bringen. Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks ist (n-2)*180°. Die Induktionsverankerung gelingt, indem man zu einer Seite eine Parallele durch den ihr gegenüberliegenden Eckpunkt zeichnet:

innenwinkelsatz_dreieck

Winkel gleicher Farbe sind gleich, daher ergänzen sie sich zu 180°. Und im Fall n = 3 sind n-2 = 1 und (n-2)*180° = 180°, was zu beweisen war.

Der Induktionsschluss gelingt, indem man das (n+1)-Eck in ein n-Eck und ein Dreieck aufteilt:

vollstaendige_induktion_siebeneck

Zwei Winkel im (n+1)-Eck stellen sich nun als Summe der entsprechenden Winkel im n-Eck und im Dreieck dar. Dank Kommutativität und Assoziativität der Addition kriegen wir das gesuchte QED.

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