Geometrietage

Hatt’s Geometriestunde nennen wollen, aber en effet wurden’s Tage.

Es begann Sonntag mit der Idee zur Frage:

hexagon_raetsel

Wie groß ist das Dreieck ADE im Vergleich zum Dreieck ABC?

Ein Sechseck genommen, weil’s schon im HTML5-Repertoire war. Dass es auf der Spitze steht, hat sich nachher als nachteilig herausgestellt. Die Rechnung ging aber so, dank cos(60°) = 1/2. Auf (9/5)^2 = 3,24 gekommen, Beweis dem Leser überlassen.

Dann mit n-Ecks anderer n probieren wollen:

fuenfeck_raetsel

Zu schwer, Sonntag aufgegeben.

Warum nicht mit Kreis als Grenzwert hochrangigen n-Ecks? Nur wie da die Dreiecksseite anlegen? Bisher gedacht, sie an der flachest abfallenden Polygonseite anzulegen. Gibt’s hier nicht mehr. Keine Lösung gefunden, Hälfte genommen, fällt mit 45° ab:

kreis_raetsel

Auf ((3+Wurzel(2))/(1+Wurzel(2)))^2 = 3,34 gekommen, Beweis dem Leser überlassen. Vermutet, Winkel sei egal, Ergebnis dank Strahlensatz oder so immer gleich. Weiter vermutet, dass das Verhältnis mit zunehmendem n über 3,24 bei n=6 nach 3,34 bei n=unendlich gehen würde. So die Theorie.

Montag’s für n=5 rausgefunden, unter größeren Schwierigkeiten. Nach mehrfachem Irren in der Mathé entschloss ich mich kurzerhand ein Lineal anzulegen und maß:
AB = 5,1 cm
AD = 9,7 cm
AC = 7,0 cm
AE = 13,3 cm
Das gibt F(ABC) = 17,85 cm^2 und F(ADE) = 64,51 cm^2. Das Verhältnis F(ADE)/F(ABC) = 3,61, überraschend groß. Als die Rechnung dann gelang, ergab sie 3,59, nicht so sehr abweichend. Die Theorie war zusammengestürzt.

Bild4602

Zum Glück war mir die Berechnung für allgemeine (ungerade) n gelungen. Und zwar drückte ich Strecken durch des Polygons Breite (b), Höhe (h) und Seitenlänge (s) aus. Die schiefe Dreieckseite habe die Geradengleichung y = ax + x0. Liegen ungerade n-Ecke so, dass die Spitze nach oben weist wie oben, dann ist der Steigungswinkel der Seite, an die die Dreieckseite angelegt wird, die Hälfte von 180° minus dem Innenwinkel des Polygons. Der Innenwinkel aber ist 180°*(n-2)/n, wie woanders schon mal bewiesen. 180° minus ihm hinterlässt 360°/n. Die Hälfte davon ist 180°/n. Die Steigung a ist dann -tan(180°/n).

Die Gerade muss durch die obere Ecke gehen, die die Koordinaten hat:
x1 = b/2
y1 = h

Die Geradengleichung wird dadurch zu:
h = -tan(180°/n)*b/2 + x0
Womit wir x0 gewinnen als
x0 = h + tan(180°/n)*b/2

Dieses x0 ist die Strecke AB. Jetzt kommt es drauf an, um wieviel das größere Dreieck größer ist als das kleinere. Die Strecke BD gilt es zu erfahren. Wie man aus der Skizze sehen kann, ist sie h + (s/2)*tan(180°/n).

Beim Verhältnis F(ADE)/F(ABC) kürzt sich vieles weg – hier nun kommt der Strahlensatz zum Einsatz. Am Ende bleibt übrig:

F(ADE)/F(ABC)
= ((AB + BD)/AB)^2
= (h + tan(180°/n)*b/2 + h + (s/2)*tan(180°/n))/(h + tan(180°/n)*b*2)
= (2*h + (b+s)*tan(180°/n)/2)/(h + tan(180°/n)*b*2)

Im Fall n=5 ist der Innenwinkel des Fünfecks 180°*3/5 = 108°. Wenn s die Seitenlänge ist, ist die Breite b = s + 2*s*cos(72°) und die Höhe h = s*sin(72° + s*sin(32°). tan(180°/5) = tan(36°). Damit erhält man beim Fünfeck F(ADE)/FABC) = 3,59, was gut mit den gemessenen 3,61 übereinstimmt.

Für die Breiten und Höhen höherwertiger ungerader Vielecke Montag auf dem Weg von der Arbeit schöne Summenformeln entwickelt:

b = s*(1 + Summe(i=1..int(n/4), cos(360°*i/n))
h = s*Summe(i=1..int(n/2), sin(360°*i/n))

int trunkiert, rundet nicht: int(7/4) = 1.

Bild4603

Weil ich dafür keine geschlossene Form gefunden hab, ließ es sich nicht in OfficeCalc berechnen, sondern nahm Perl. Stellte fest, dass es bei hohen ns gegen 4 geht. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist 4,00 bei n=1253 schon erreicht und bei n=19999 noch nicht überschritten. Eine so glatte Zahl als Grenzwert müsste sich ohne Rechnung bei Betrachtung schon feststellen lassen. Schauen wir mal. Bei großen n wird s gegenüber b klein. b und h nähern einander an, da es gen Kreis geht. Formen wir die Formel um, indem wir h herauskürzen, erhalten wir:
F(ADE)/F(ABC) = ((2 + (1/2)*((b+s)/h)*tan(180°/n))/(1 + (1/2)*(b/h)*tan(180°/n)))^2
b/h und (b+s)/h gehen gegen 1, oder zumindest sind sie beschränkt, sagen wir, bleiben unter 2.
tan(180°/n) geht mit zunehmendem n gegen 0, da sin(180°/n) gegen 0 geht und cos(180°/n) unter 1 bleibt.
In Zähler wie Nenner gehen die zweiten Terme daher gegen 0 und es bleiben die ersten: F(ADE)/F(ABC) geht gegen (2/1)^2 = 2^2 = 4.

Nun stimmt das nicht mit der Vermutung überein, dass es beim Kreis derselbe Wert bleibt, egal in welchem Winkel man die Dreieckseite ansetzt. Bei einem Winkel nahe 0° sollte das Flächenverhältnis beim Kreis auch gegen 4 gehen, da ein n-Eck mit riesigem n einem Kreis ähnelt. Deshalb Dienstag noch mal mit den Kreisen beschäftigt.

Vom Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte des Kreises gegangen, dann im Winkel 90° – Steigungswinkel der Dreieckseite – nennen wir ihn beta – zu seinem Rand. Die Koordinaten des Berührungspunkts von Kreis und Dreiecksseite sind (r + r*cos(beta), r + r*sin(beta)).

Die Geradengleichung y = -x*tan(alpha) + AB muss diesen Punkt erwischen, daher ist AB = r(1 + sin(beta) + (1 + cos(beta))*tan(alpha)).

Der zweite Kreis bestimmt die Strecke BD zu 2*r/cos(alpha).

F(ADE)/F(ABC) = ((AB + BD)/AB)^2 = ((1 + sin(beta) + tan(alpha) + cos(beta)*tan(alpha) + 2/cos(alpha))/(1 + sin(beta) + (1 + cos(beta))*tan(alpha)))^2.

Bild4587

Ausgerechnet ist das schön symmetrisch:

4
3,84
10°    3,72
15° 3,61
20° 3,53
25° 3,46
30° 3,42
35° 3,39
40° 3,35
45° 3,35
50° 3,35
55° 3,39
60° 3,39
65° 3,46
70° 3,53
75° 3,61
80° 3,72
85° 3,84
90° 4

Lässt man alpha gegen 0 gehen, geht – siehe oben – tan(alpha) gegen 0 und cos(alpha) gegen 1. beta geht gegen 90°, daher sin(beta) gegen 1, cos(beta) gegen 0. F(ADE)/F(ABC) geht gegen ((1 + 1 + 0 + 2)/(1 + 1 + 0))^2 = (4/2)^2 = 2^2 = 4.

Das war der Dienstag. Mittwoch noch mal das Sechseck geradegerückt. Steht es nicht auf der Spitze, sondern liegt auf der Seite, kommt auch 3,24 raus:

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Auch Mittwoch die Frage angegangen, ob das Verhältnis bei Polygonen hohen ns, legt man die Dreieckseite mit 45° an, gegen 3,34 geht wie beim Kreis. Dazu Polygone mit n = 4*k Ecken betrachtet, weil der Winkel 45° da exakt vorkommt. Wieder lässt es sich schön als Term von Breite und Höhe ausdrücken:
Erstmal ist die Steigung -1. Dann hat der obere linke Berührungspunkt von Dreieckseite und Polygon die Koordinaten (b/2 + b/(2*Wurzel(2)) – s/(2*Wurzel(2)), b/2 + b/(2*Wurzel(2)) + s/(2*Wurzel(2))). Die Dreieckseite muss durchlaufen, daher ergibt sich aus der Geradengleichung:
AB = b*(1 + 1/Wurzel(2))
Die Strecke BD ist nun 4*(b/2)*(1/Wurzel(2)) = b*Wurzel(2).
So kriegen wir F(ADE)/F(ABC) raus als ((1 + 1/Wurzel(2) + Wurzel(2))/(1 + 1/Wurzel(2)))^2. Erweitern wir mit Wurzel(2), wird das: ((Wurzel(2) + 1 + 2)/(Wurzel(2) + 1))^2 = ((3 + Wurzel(2))/(1 + Wurzel(2)))^2. Ausgerechnet ist das 3,34, wie gewünscht.

Bild4604

Mich wunderte, quälte etwas, dass (8 + 5*Wurzel(2))/(4 + 3*Wurzel(2)) und (3 + Wurzel(2))/(1 + Wurzel(2)) auf’s selbe Ergebnis führen sollten. Bis er, ich mühsam rausfand, dass (x + Wurzel(2))*(y + Wurzel(2)) = x*y + (x + y)*Wurzel(2) + 2 = (x*y + 2) + (x + y)*Wurzel(2).

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

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