Kreise und Dreieck

Wieder viel Schweiß hat folgende Aufgabe gekostet:

dreieck_kreise

Wie groß ist das Dreieck im Verhältnis zum größeren Kreis?

Der kleinere Kreis hat den halben Durchmesser des größeren (nur zur Verdeutlichung dessen ist die 8 in den größeren gemalt) und das Dreieck ist rechtwinklig.

Oftmals verrechnet, bis ich auf ein Ergebnis wie folgt gekommen bin:

dreieck_kreise2.png

Die blauen Winkel sind gleich, nennen wir sie alpha. Dann ist -tan(alpha) die Steigung der schiefen Dreieckseite. Sie hat die Geradengleichung:

y = x0 – tan(alpha)*x

Beide Berührungspunkte mit den Kreisen müssen diese Geradengleichung erfüllen. Die Koordinaten der Berührungspunkte sind:

x1 = 2*r + 2*r*sin(alpha)
y1 = 2*r + 2*r*cos(alpha)

x2 = 2*r + Wurzel(8)*r + r*sin(alpha)
y2 = r + r*cos(alpha)

Die Wurzel(8) kommt von Pythagoras. Der Abstand der beiden Kreismittelpunkte ist 2*r + r = 3*r. In der y-Koordinate unterscheiden sich die beiden Kreismittelpunkte durch r. Dann unterscheiden sie sich in der x-Koordinate durch Wurzel((3*r)^2 – r^2) = Wurzel(9*r^2 – r^2) = Wurzel(9 – 1)*r = Wurzel(8)*r.

Mit den Abkürzungen:

s := sin(alpha)
c:= cos(alpha)
t:= tan(alpha) = s/c

werden die Koordinaten der Berührungspunkte zu:

x1 = 2*r*(1 + s)
y1 = 2*r*(1 + c)

x2 = r*(2 + Wurzel(8) + s)
y2 = r*(1 + c)

Eingesetzt in die Geradengleichung, welche zwei Unbekannte x0 und alpha hat:

2*r*(1 + c) = x0 – 2*r*t*(1 + s)
r*(1 + c) = x0 – r*t*(2 + Wurzel(8) + s)

Auflösen nach x0 und Gleichsetzen gibt eine Gleichung für alpha:

2*r*(1 + c) + 2*r*t*(1 + s) = r*(1 + c) + r*t*(2 + Wurzel(8) + s)

Der Radius hebt sich weg und ausmultipliziert bleibt:

2 + 2*c + 2*t + 2*s*t = 1 + c + 2*t + Wurzel(8)*t + s*t
<=>
1 + c + s*t – Wurzel(8)*t = 0
<=>
c + c^2 + s^2 – Wurzel(8)*s = 0
<=>
c + c^2 + 1 – c^2 – Wurzel(8)*s = 0
<=>
c + 1 = Wurzel(8)*Wurzel(1 – c^2)
<=>
(c + 1)^2 = 8*(1 – c^2)
<=>
c^2 + 2*c + 1 = 8 – 8*c^2
<=>
9*c^2 + 2*c – 7 = 0
<=>
c^2 + (2/9)*c – (7/9) = 0
=>
c = -(1/9) +- Wurzel(1/81 + 63/81) = -(1/9) +- Wurzel(64/81) = -(1/9) +- 8/9
=>
c = 7/9 oder c = -1

Der Winkel alpha ist damit bestimmt als acos(7/9). Wir haben gewonnen:

c = 7/9
s = Wurzel(1 – (7/9)^2) = Wurzel(1 – 49/81) = Wurzel(81 – 49)/9 = Wurzel(32)/9 = Wurzel(2*16)/9 = Wurzel(2)*4/9
t = (Wurzel(2)*4/9)/(7/9) = Wurzel(2)*4/7.

Damit errechnet sich x0 als:

x0 = r*(2 + 2*c + 2*t + 2*s*t) = r*(288 + 72*Wurzel(2))/63

Die Dreiecksfläche ist nun:

F(Dreieck) = x0^2/(2*t) = r^2*(8*(18 + 8*Wurzel(2)))/(7*Wurzel(2))

Die Fläche des größeren Kreises ist:

F(großer Kreis) = (2*r)^2*pi = 4*r^2*pi

Und das gefragte Verhältnis ist:

F(Dreieck)/F(großer Kreis) = 2*(18 + 8*Wurzel(2))/(7*Wurzel(2)*pi) = 1,885.

Relativ sicher, dass es diesmal stimmt, bin ich nur deshalb, weil ich die Seiten vermessen habe. Im ersten Bild waren die Formen in OpenWriter aufgezogen. Im Ausdruck maß der Durchmesser des kleineren Kreises 3 cm, die Grundlinie des Dreiecks 11,5 cm und seine Höhe 9,3 cm. Daraus ergibt sich ein Verhältnis von 1,89.

*

Interessanter könnte man die Aufgabe durch Einkleidung in eine schlüpfrige Geschichte gestalten:

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Der Modeschöpfer Christian Dasmund hat ein Top entworfen, extra für sein Model Merilu, die zwei ungleiche Brüste hat. Ihre linke hat den halben Durchmesser der rechten. Im Katalog will Dasmund das Top mit Blattgold belegen. Dasmunds Kontroller Pingel aber verlangt den Blattgoldverbrauch auf ein Drittel zu senken. Nun überlegt Dasmund, ob das gelinge, ließe er seiner Muse Brüste frei. Er fragt seinen Bruder, Karl Kastrakampus. Was wird der antworten?

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