Barbie & Ken

treiben Geometrie.

Barbie fragt: Wie groß ist die rosa Fläche?

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Ken sagt:

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Wegen des vorgegebenen rechten Winkels ist der Winkel α 45° groß. Der Kreissektor hat die Fläche r^2*π/4, davon ist die Dreiecksfläche abzuziehen und das Ergebnis mal 2 zu nehmen, das macht die rosa Fläche aus. Weil α 45° groß ist, hat das Dreieck die Fläche h^2 mit der Höhe h = r*sin(45°) = r/Wurzel(2).

Die rosa Fläche ist damit r^2*2*(π/4 – 1/2) = r^2*(π/2 – 1) ~= 0,57*r^2 groß, das sind 0,57/3,14 = 18 Prozent einer Brustfläche.

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Barbie fragt: Wie groß ist die rosa Fläche?

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Ken sagt:

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tan(β) ist 2*r durch r groß, also 2. Damit ist β als arctan(2) bestimmt, was gut 63° sind. γ ist 180° – 2*β ~= 53°. α ist 90° – β ~= 27°. δ ist 90° – γ ~= 37°.

Die halbe rosa Fläche setzt sich zusammen aus einem Kreissektor mit dem Winkel α, einem Kreissektor mit dem Winkel δ und einem Dreieck der Fläche r^2*sin(γ/2)*cos(γ/2).

Damit ist die ganze rosa Fläche r^2*2*(α/(2*π) + δ/(2*π) + sin(γ/2)*cos(γ/2)) ~= 1,91*r^2 groß, das sind ungefähr 1,91/3,14 = 61 Prozent einer Brustfläche.

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Ken fragt: Wie groß ist die blaue Fläche?

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Barbie sagt: Wenn d die Seitenlänge des Fünfecks ist, dann ist die Höhe der blauen Fläche d*sin(54°), weil die Innenwinkel des Fünfecks (5-2)/5*180° = 108° groß sind. Praktischerweise addieren sich die Grundseiten der drei Dreiecke zu d. Die blaue Fläche ist damit d^2*sin(54°)/2 ~= 0,40*d^2 groß.

Da die Fläche des Fünfecks 5*(d/2)*(d/2)*tan(54°) = d^2*(5/4)*tan(54°) ~= 1,72*d^2 ist, macht die blaue Krone 0,40/1,72 ~= 24 Prozent von ihm aus.

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