Ken fragt

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Ken, Barbie und Ben sitzen um einen Teetisch dieser Draufsichtform von Louis Vuitton (oder Le Corbusier). Was hier #ffdd00 ist, ist in Wahrheit golden. Was hier weiß ist, ist ganz Glas. Ken fühlt sich an ein messingnes Schlüsselloch erinnert, Barbie denkt annen Gesicht mit mittelgescheiteltem blonden Haar (plus Backenbart, raunt Ken) und Ben erinnert gelbe Pilze aus Super Mario.

Ken sagt: „Ein stylischer Tisch.“ Er fragt: „Wie groß ist die messingne Fläche im Vergleich zum Kreis da?“

Barbie fragt: „Können wir uns einigen, wie wir vorgehen wollen?
Könnt ihr mir sagen, wie wir rechnen sollen?“

Ken zäumt das Ross von hinten auf:

ken_fragt_2

„Schneiden wir den Tisch wie eine Torte ein, finden wir, dass die messingne Fläche oberhalb des Keils aus dem Runden minus dem Eckigen besteht, unterhalb dagegen umgekehrt aus dem Eckigen minus dem Runden.“ Die Teegesellschaft lookt überzeugt.

„Wir müssen diese vier Flächen F1 bis F4 berechnen.“

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„F1 und F2 sind Kreissektorflächen. Sie verhalten sich zur Fläche des ganzen Kreises wie ihr Zentralwinkel zu 360°. Die Fläche des ganzen Kreises ist ja pi*r^2.“

Ben und Barbie schauen.

„Die Flächen F3 und F4 gewinnen wir nun so:“

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Barbie findet es unschön, wie Kens Kritzelei die Ganzheit des Goldes zerstört. Ken: „Anders geht es nicht. Die Fläche F3 setzt sich zusammen aus 2*F3_1 plus F3_2 plus F3_3, die Fläche F4 aus F4_1 plus F4_2. Insgesamt suchen wir ja F1 – F3 + F4 – F2.“

Barbie: „Die andere Hälfte des Himmels fehlt. Hat Mao nicht gesagt: ‚Frauen tragen den halben Himmel‘ (妇女能顶半边天)?“

Ken: „Korrekt. Wir rechnen mit der Hälfte, setzen die ausgerechneten Flächen dann in Beziehung zur halben Kreisfläche, und das Verhältnis bleibt sich gleich.“ Barbie nickt skeptisch. Ken spuckt sich in die Hände: „So let’s start.“

Ben beginnt: „Die Bedingungen zwischen Kreis und Fünfeck scheinen eine Beziehung zwischen ihnen herzustellen. Doch habe ich das Fünfeck wahllos in Word aufgezogen und den Kreis darauf auch und soweit vergrößert, dass die erwünschte Beziehung dank Einrastens hergestellt war. Insofern vermute ich, dass es skalierbar ist, heißt, dass der Radius des Kreises ein bestimmtes Vielfaches der Kantenlänge des Fünfecks ist.“

Das Paar nickt, aber schweigt.

Dann gründet Ken: „Erstmal können wir den Kreismittelpunkt M als Ursprung des Koordinatensystems nehmen und die Koordinaten der Eckpunkte des Fünfecks rauskriegen.“

Ben: „Korrekt, Ken! Das regelmäßige Fünfeck hat Innenwinkel von 108°. Leuchtet das ein?“
Barbie: „Nein.“

fuenfeck

Ben: „Sieh, die spitzen Winkel in der Mitte haben 360°/5 = 72°. Die Dreiecke sind gleichschenklig und ihre Winkelsumme ist 180°, daher sind ihre äußeren Winkel (180° – 72°)/2 = 54°. Die Innenwinkel sind das Doppelte davon: 108 Grad.“
Barbie: „Schad‘.“
Ken: „Warum schad‘?“
Barbie: „Mathematik …“
Ben: „… ist unbetrügsam.“
Barbie: „… ist gruselig.“
Ken: „… macht einsam.“

Doch fragt Ben heiter: „Wie weiter?“
Sagt Ken: „Bestimmen wir die Punkte.“

blaue_flaeche_3

x1 = -s/2, y1 = r
x3 = x1 – s*sin(18°), y3 = y1 – s*cos(18°)
x4 = 0, y4 = y3 – s*cos(54°)

Darüber, dass der Eckpunkt P3 auf dem Kreis liegen soll, lässt sich die Beziehung zwischen der Seitenlänge s und dem Radius r herstellen:

r^2 = x3^2 + y3^2
r^2 = (x1 – s*sin(18°))^2 + (y1 – s*cos(18°))^2
r^2 = (-s/2 – s*sin(18°))^2 + (r – s*cos(18°))^2
r^2 = s^2/4 + s^2*sin(18°) + s^2*sin(18°)^2 + r^2 – 2*r*s*cos(18°) + s^2*cos(18°)^2
r^2 = s^2*(5/4) + s^2*sin(18°) + r^2 – 2*r*s*cos(18°)
0 = s^2*(5/4) + s^2*sin(18°) – 2*r*s*cos(18°)
r = (s^2*(5/4) + s^2*sin(18°))/(2*s*cos(18°))
r = s*((5/4 + sin(18°))/(2*cos(18°))
r ~= 0,8196*s

Ben sagt: „Bravo.“ Barbie: „Oh.“
Ben fühlt sich schon am Ziel, Barbie vermisst noch viel:

„Jetzt müssen wir den Punkt P2 bestimmen. Er liegt auf der Polygonkante und muss daher P2 = P1 + lambda*(P3 – P1) erfüllen. Halten wir die Differenzen fest:

x3 – x1 = -s*sin(18°)
y3 – y1 = -s*cos(18°)

Damit sind:

x2 = -s/2 – lambda*s*sin(18°)
y2 = r – lambda*s*cos(18°)

Kürzen wir r = f*s ab mit f := (5/4 + sin(18°))/(2*cos(18°)), dann sind:

x2 = s*(-1/2 – lambda*sin(18°))
y2 = s*(f – lambda*cos(18°))

Zugleich liegt P2 auf dem Kreis, daher:

r^2 = x2^2 + y2^2
f^2 = (-1/2 – lambda*sin(18°))^2 + (f – lambda*cos(18°))^2
f^2 = 1/4 + lambda*sin(18°) + lambda^2*sin(18°)^2 + f^2 – 2*f*lambda*cos(18°) + lambda^2*cos(18°)^2
0 = 1/4 + (sin(18°) – 2*f*cos(18°))*lambda + lambda^2

Das ist die Normalform einer quadratischen Gleichung für lambda mit p = sin(18°) – 2*f*cos(18°) und q = 1/4. Rechnet man das, kommen zwei Lösungen lambda = 1/4 und lambda = 1 raus. lambda = 1 macht Sinn, denn das ist der Punkt P3, der ja auch auf dem Kreis liegt. lambda = 1/4 dagegen ist der gesuchte Punkt P2.“

Ben sagt: „Damit haben wir alles zusammen, um die Flächen auszurechnen. Wir brauchen aber noch die Winkel:
blaue_flaeche_4

alpha = arcsin(-x2/r)
beta = 2*arcsin((3/8)*(s/r))
gamma = arcsin(-x3/r)

Der Kreissektor oberhalb des Keils hat nun die Fläche:
F1 = pi*r^2*(2*pi – 2*alpha)/(2*pi) = r^2*(pi – alpha)
Der Kreissektor unterhalb des Keils hat die Fläche:
F2 = pi*r^2*2*alpha/(2*pi) = r^2*alpha
Das Polygon oberhalb des Keils hat die Fläche:
F3 = 2*((3/8*s*r*cos(beta/2) + (1/2)*x3*y3 + (1/2)*s*sin(54°)*s*cos(54°))
Das Polygon unterhalb des Keils hat die Fläche:
F4 = 2*((1/2)*r*sin(alpha)*r*cos(alpha) + (y0 – y2)*(x1 + x2)/2)

Die gesamte blaue Fläche beträgt dann 2*(F1 – F3 + F4 – F2) ~= 24,83 % der Kreisfläche.

Barbie: „Fast genau ein Viertel!“ Sie ruft Gimp auf. Lässt sich die Grafik von Ben in die Zwischenablage kopieren, fügt sie als neues Bild ein, ändert das Gold zu Schwarz, fügt einen Alphakanal hinzu, löscht mit dem Zauberstab den Hintergrund, ruft das Histogrammfenster auf und es zeigt 47114 Pixel an:

gimp_histogramm

Das Bild hat sie auf den Kreis beschnitten. Es ist nun 492×492 Pixel groß. Heißt, der Radius beträgt 492/2 = (500 – 8)/2 = 250 – 4 = 246 Pixel. Die Kreisfläche ist dann pi*246^2 = 189942 Quadratpixel. Und 47114/189942 = 24,80 Prozent.

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