8 Monaden

kreishaus_1

Wenn in Flachwelt Architektin Hader Zackig um acht kreisrunde Monaden wie skizziert ein sechseckiges Haus baut, wie groß ist dann das Haus flächenmäßig gegenüber einer Monade?

↓ Auflösung unten ↓

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kreishaus_2a

Es ist cos(α) = r/(2*r) = 1/2.
Daraus folgt sin(α) = Wurzel(1 – cos(α)^2) = Wurzel(1 – 1/4) = Wurzel(4/4 – 1/4) = Wurzel(3/4) = Wurzel(3)/2.
Und tan(α) = sin(α)/cos(α) = Wurzel(3).

Die Dachschräge erfüllt eine Geradengleichung y = a*x + b. Wenn wir die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach unten! zeigen lassen, dann ist ihre Steigung -tan(α), also -Wurzel(3). Wenn wir den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems ins Zentrum der linkesten Monade des Obergeschosses legen, dann berührt die Schräge diese Monade im Punkte (-r*sin(α), -r*cos(α)) = (-r*Wurzel(3)/2, -r/2).

Durch Einsetzen in die Geradengleichung lässt sich bestimmen:

b = -r*(1/2 + 3/2) = -2*r

Die linke Dachschräge hat also die Gleichung y = -Wurzel(3)*x – 2*r. Nun können wir die Koordinaten der Punkte P0 bis P2 bestimmen:

x0 = -r
y0 = 3*r
x1 = x0 = -r
y1 = a*x1 + b = -Wurzel(3)*(-r) – 2*r = r*(Wurzel(3) – 2)
y2 = -r*(2*Wurzel(3)/2 + 1) = -r*(Wurzel(3) + 1)
x2 = (y2 – b)/a = r*(-Wurzel(3) – 1 + 2))/-Wurzel(3) = r*(Wurzel(3) – 1)/Wurzel(3) = r*(1 – 1/Wurzel(3)

Die Fläche des Hauses lässt sich zusammensetzen aus dem Rechteck F1 = b1*h1 mit:

b1 = 6*r
h1 = y0 – y1 = 3*r – r*(Wurzel(3) – 2) = r*(5 – Wurzel(3)

Damit ist F1 = r^2*(30 – 6*Wurzel(3)). Und bei der Dachfläche lässt sich das linke Dreieck rechts ansetzen und es entsteht eine Rechteckfläche F2 = b2*h2 mit:

b2 = b1 – (x2 – x1) = b1 – x2 + x1 = r*(6 – 1 + 1/Wurzel(3) – 1) = r*(4 + 1/Wurzel(3))
h2 = y1 – y2 = r*(Wurzel(3) – 2 + Wurzel(3) + 1) = r*(2*Wurzel(3) – 1)

Damit ist F2 = r^2*(4 + 1/Wurzel(3))*(2*Wurzel(3) – 1) = r^2*(8*Wurzel(3) – 4 + 2 – 1/Wurzel(3) = r^2*(8*Wurzel(3) – 2 – 1/Wurzel(3)).

Die gesamte Hausfläche ist nun F1 + F2 = r^2*(30 – 6*Wurzel(3) + 8*Wurzel(3) – 2 – 1/Wurzel(3)) = r^2*(28 + 2*Wurzel(3) – 1/Wurzel(3))

Die Fläche einer Monade ist π*r^2, damit ist die Hausfläche im Vergleich mit einer Monade groß:

(28 + 2*Wurzel(3) – 1/Wurzel(3))/π = 9,8316

8 Monaden leben im Haus. Die Lücken sind also nicht einmal zwei Monaden groß.

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