8 Monaden 2

Das hier sieht ganz interessant aus:

kreise_im_quadrat

Acht kreisrunde Monaden zweier Sorten umschließt ein Quadrat. Wie groß sind die großen Kreise gegenüber den kleinen?

Gehen wir von links aus waagerecht in die Mitte der Figur hinein, legen wir die Strecke r1 + r1*Wurzel(2) zurück.

Gehen wir die obere Seite entlang bis zu ihrer Mitte, dann legen wir die Strecke r2 + x zurück. x ist die Projektion der Verbindung der Mittelpunkte des kleinen und des großen Kreises auf die Quadratseite. Diese Verbindung ist r1 + r2 lang. Im kleinen Kreis ist sie r2 von der Quadratseite entfernt, im großen r1. Mit diesen Informationen berechnet sich die Projektion als Wurzel((r1 + r2)^2 – (r1 – r2)^2) = Wurzel(4*r1*r2) = 2*Wurzel(r1*r2).

Somit haben wir eine Gleichung für die Beziehung zwischen r1 und r2, da beide Strecken ja gleich lang sind:

r1 + r1*Wurzel(2) = r2 + 2*Wurzel(r1*r2)

Stellen wir Wurzel(r1*r2) frei:

2*Wurzel(r1*r2) = r1*Wurzel(2) + (r1 – r2)

Und quadrieren wir:

4*r1*r2 = 2*r1^2 + 2*r1*(r1 – r2)*Wurzel(2) + r1^2 – 2*r1*r2 + r2^2
0 = (3 + 2*Wurzel(2))*r1^2 – (6 + 2*Wurzel(2))*r1*r2 + r2^2

Mit p = -(6 + 2*Wurzel(2))*r1 und q = (3 + 2*Wurzel(2))*r1^2 erhalten wir zwei Lösungen für r2, nämlich:

r2 = r1*(3 + Wurzel(2) +- 2*Wurzel(2 + Wurzel(2)))

Für die große Lösung mit dem + finde ich keine Begründung, die kleine mit dem Minus dagegen scheint hinzukommen:

r2/r1 = 3 + Wurzel(2) – 2*Wurzel(2 + Wurzel(2)) = 0,7187

Das scheint gut hinzukommen, denn mit den Maßen r1 = 2,33 cm und r2 = 1,67 cm lassen sich die Kreise gut ins Quadrat einpassen in OpenOffice Writer.

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