Girih-Kacheln

Welche Ziffer kommt nicht vor, wenn man die 5 Girih-Kachel-Flächen ins Verhältnis zur kleinsten (Raute) setzt und auf 8 Dezimalstellen rundet?

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

girih

Die sogenannten Girih-Kacheln besitzen fünf Formen: eine Raute (lila), eine Fliege (rot), ein regelmäßiges Fünfeck (gelb), ein Sechseck (grün) und ein regelmäßiges Zehneck (blau). Damit sie eine Parkettierung ergeben, ist die Seitenlänge dieser Vielecke immer gleich, nennen wir sie s. Wikipedia gibt die Winkel an, womit eine Berechnung der Flächen möglich wird:

1. Raute

F = s*s*sin(72°) = s^2*sin(72°)

2. Fliege

F = 2*(s – s*cos(72°))*a*sin(72°) = s^2*2*sin(72°)*(1 – cos(72°))

3. Fünfeck

Ein reguläres Fünfeck hat die Fläche F = s^2*5*tan(54°)/4

4. Sechseck

F = 2*(s + s*sin(54°))*a*cos(54°) = s^2*2*cos(54°)*(1 + sin(54°))

5. Zehneck

Ein reguläres Zehneck hat die Fläche: F = s^2*5*cot(18°)/2

Damit verhalten sich die Flächen zueinander wie (s^2 lässt sich kürzen):

1. sin(72°)
2. 2*sin(72°)*(1 – cos(72°))
3. 5*tan(54°)/4
4. 2*cos(54°)*(1 + sin(54°))
5. 5*cot(18°)/2

Ausgerechnet ist das:

1. 0,95
2. 1,31
3. 1,72
4. 2,13
5. 7,69

Gefragt ist aber nach ihnen im Vergleich zur Fläche der kleinsten, der Raute, und dann ergibt sich, auf acht Nachkommastellen gerundet:

1. 1,00000000
2. 1,38196601
3. 1,80901699
4. 2,23606798
5. 8,09016994

Schaut man durch, findet man jede Ziffer außer der 5.

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