Stern im Kreis

stern_im_kreis_16_konturlos

Gegen welchen Wert geht die gelbe Fläche, wenn die Anzahl der Zacken gegen Unendlich geht?

stern_im_kreis_256_ohne_umrisse

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

stern_im_kreis_hilfslinien

Bei n Zacken ist der Winkel α = 2*π/n/2 = π/n groß. sin(α) = h/r2, also berechnet sich h als r2*sin(α) = r2*sin(π/n).

Die grüne Fläche ist r1*h/2 groß, das ist r1*r2*sin(π/n)/2.

Die gelbe Fläche besteht nun aus 2*n grünen Flächen abzüglich dem kleinen Kreis, das macht n*r1*r2*sin(π/n) – π*r2^2.

Wenn n gegen Unendlich geht, geht π/n gegen Null und sin(π/n) gegen den ersten Term seiner Taylorentwicklung, das ist π/n. Damit geht die gelbe Fläche gegen n*r1*r2*π/n – π*r2^2 = r1*r2*π – π*r2^2 = π*r2*(r1 – r2)

Beispielhaftes

In Abb. 1 hat der Innenkreis den halben Durchmesser des Außenkreises. Es gilt r1 – r2 = r2 und die gelbe Fläche geht mit zunehmendem n gegen die Fläche des Innenkreises.

In Abb. 2 und 3 verhalten sich die Durchmesser von Innen- und Außenkreis wie ein Drittel. Es gilt r1 – r2 = 2*r2 und die gelbe Fläche geht gegen die doppelte Fläche des Innenkreises.

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