Lücke

Bild4805

Sind Kartons so auf eine Palette gepackt, fragt man sich willkürlich, wie groß die Lücke ist.

Bei einer Breite b und Tiefe t eines Kartons ist die Bounding Box 3*b + t breit und 2*b + t tief. Sie hat die Fläche (3*b + t)*(2*b + t) = 6*b^2 + 5*b*t + t^2. Zieht man davon 10 Kartonflächen à b*t ab, bleibt die Fläche der Lücke als 6*b^2 – 5*b*t + t^2 übrig.

Grenzbetrachtung: Wird t klein gegen b, geht die Lückenfläche gegen 3*b*2*b = 6*b^2. Wird b klein gegen t, geht sie gegen t*t = t^2.

Die Fotokartons enthalten A4-Blätter, haben also DIN-Format, heißt t/b = Wurzel(2). Für t Wurzel(2)*b eingesetzt, ergibt sich die Fläche der Lücke als b^2*(6 – 5*Wurzel(2) + 2) = b^2*(8 – 5*Wurzel(2)) ~= 0,93*b^2. Das ist etwas weniger als die rosa Fläche:

luecke

Was aber, wenn die Kartons ein anderes Seitenverhältnis hätten?

Nennen wir das Verhältnis von Tiefe zu Breite s. Dann ist L0 = b^2*(6 – 5*s + s^2) = b^2*(s – 2)*(s – 3). Die beiden Nullstellen sehen so aus:

luecke_2

luecke_3

Im Bereich zwischen 2 und 3 würden sich zwei Kartons überlappen:

luecke_4

Damit sie sich nicht überlappen, müssen wir die Kartons auseinanderziehen. Das geht, indem wir 1. die breite Seite der Bounding Box, oder 2. ihre schmale Seite verbreitern. Die 1. Methode sieht so aus:

luecke_9

Hier ist die Lücke L2 = 2*2*b*(3*b – t) = 12*b^2 – 4*b*t groß.

Die 2. Methode so:

luecke_10

Hier ist die Lücke L1 = 2*t*(t – 2*b) = 2*t^2 – 4*b*tgroß.

Im Bereich 2 bis 3 ist L1 < L2, wenn 2*t^2 < 12*b^2, das ist s < Wurzel(6) ~= 2,45.

s L1 L2
2,2 luecke_7 luecke_6
Wurzel(6) luecke_11 luecke_12
2,8 luecke_8 luecke_5

Immer die kleinste, nicht negative Lücke haben wir, wenn wir außerhalb des Intervalls [2, 3] L0 nehmen, im Intervall [2, Wurzel(6)] auf L1 und im Intervall [Wurzel(6), 3] auf L2 setzen:

luecke_diagramm_2

Die linke Flanke des Zackens sieht fast auch linear aus, ist aber quadratisch. Auch vergrößert ist das aber kaum zu erkennen:

luecke_diagramm_ausschnitt

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