Kugel-Klaas

Optiker Kugel-Klaas fragt seinen Ingenieur:

kreisschnitt_und_dreieck

„Hör, mal her! Bei welcher Flügelbreite ist der Überlapp der Brillengläser so groß wie die Trägernase?“

Ingenieur Hör zeichnet Hilfslinien ein:

kreisschnitt_und_dreieck_2

„Nennen wir die Nasenflügelbreite d. Die Klaasbrillengläser sind kreisrund, seien ihre Radien r. Dann ist der Überlapp der Brillengläser das Vierfache der blauen Fläche. Die blaue Fläche gewinnen wir aus der Differenz des Kreissektors mit dem Zentriwinkel α und der grünen Dreiecksfläche. Die Kreissektorfläche ist π*r^2*α/(2*π), das ist r^2*α/2. Das grüne Dreieck ist r*sin(α)*r*cos(α)/2 groß. Seine Grundseite ist aber zugleich d/2 groß, damit ist r*cos(α) = d/2 und r*sin(α) = r*Wurzel(1 – d^2/(4*r^2)). Kürzen wir c := Wurzel(1 – d^2/(4*r^2)) ab, ist die Dreiecksfläche damit c*d*r/4 groß. Für die blaue Fläche bleibt r^2*α/2 – c*d*r/4, der Überlapp der Brillengläser ist das Vierfache davon, also 2*α*r^2 – c*d*r groß.

Das Nasendreieck ist d breit und r + r*sin(α) hoch. Seine Fläche ist damit d*r*(1 + sin(α))/2 groß. Den Sinus hatten wir oben schon ersetzt durch c. Somit ist die Nasenfläche d*r*(1 + c)/2 groß.

Nun soll d so gewählt werden, dass beide Flächen gleich groß sind. Setzen wir sie gleich:

2*α*r^2 – c*d*r = d*r*(1 + c)/2
4*α*r – 2*c*d = d*r + d*r*c
(4*α- d)*r = (d*r – 2*d)*c
(4*α- d)*r/(d*r – 2*d) = c

Ersetzen wir c wieder durch die Wurzel und α durch arccos(d/(2*r)), dann erhalten wir:

4*arccos(d/(2*r)) – d)*r/(d*r – 2*d) = Wurzel(1 – d^2/(4*r^2))

Um die Wurzel wegzukriegen, quadrieren wir:

(4*arccos(d/(2*r)) – d)^2*r^2/(d*r – 2*d)^2 = 1 – d^2/(4*r^2)

Das sieht nicht besonders schön aus. Rechts erhalten wir d in vierter Potenz und links steckt es zudem noch im Argument des Arkuskosinus drin.“

„Was tun wir nun, Hör?“

„Wir erstellen in Excel eine Tabelle und lassen für verschiedene Wert von d/r beide Flächen berechnen. So können wir uns der Nullstelle immer weiter annähern.“

„Dann tun sie’s nun, Hör!“

„Ich tat’s bereits. Tun wir’s auf vier Dezimalstellen genau, erhalten wir 1,1204, hier!“

kreisschnitt_und_dreieck_3

„Wie groß ist ein Klaasbrillenglas dann relativ zur Trägernase?“

„Das Klaasbrillenglas ist π*r^2 groß. Die Trägernase – siehe oben – d*r*(1 + c)/2 groß. c war die Wurzel(1 – d^2/(4*r^2)). d/r haben wir bestimmt als 1,1204. Das muss zum Quadrat genommen werden (1,2553), durch Vier geteilt (0,3138) und von Eins abgezogen werden (0,6862). Daraus die Wurzel ist 0,8284, so groß ist also c. Die Trägernase ist dann 1,1204*r^2*1,8284/2 groß, das ist 1,0242*r^2. Das Klaasbrillenglas ist π/1,0242 = 3,1 mal so groß.“

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