Spielfigur

Welches Volumen hat die massive Mensch-ärgere-dich-nicht-Figur?

spielfigur

Und wie hoch über dem Spielbrett liegt ihr Schwerpunkt?

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Sie besteht aus einem zylindrischen Fuß, 2 Kästchen hoch und 8 Kästchen im Durchmesser, einem Körper, der ein 12 Kästchen hoher Kegel ist, und einem kugelförmigen Kopf mit Radius 3 Kästchen, in den die Spitze des Körpers hineinragt.

Der Zylinder hat das Volumen Kreisfläche mal Höhe = π*r^2*h = π*4^2*2 = π*16*2 = π*32.

Der Kegel hat das Volumen π*r^2*h/3 = π*4^2*12/3 = π*16*4 = π*64.

Die vollständige Kugel hat das Volumen π*r^3*4/3 = π*3^3*4/3 = π*9*4 = π*36. Davon muss aber noch die Kegelspitze abgezogen werden. Die ist ein sogenannter Kugelausschnitt. Die Höhe des zugehörigen Kugelabschnitts können wir über den Kegel bestimmen. Der Tangens seines halben Öffnungswinkels ist r/h = 4/12 = 1/3. Die Höhe des Kugelabschnitts ist der Kugelradius minus dem Kugelradius mal dem Kosinus dieses Winkels. Den Kosinus erhalten wir aus dem Tangens als 1/Wurzel(1 + (1/3)^2) = 1/Wurzel(9/9 + 1/9) = 3/Wurzel(10). 1 – 3/Wurzel(10) ~= 0,05 und die Höhe des Kugelabschnitts 0,154 Kästchen. Das Volumen des Kugelausschnitts ist damit π*r^2*h*2/3 ~= π*3^2*0,154*2/3 ~= 2,9 Kubikkästchen.

Zusammen: π*(32 + 64 + 36 – 0,92) = π*(132 – 0,92) ~= 414 Kubikkästchen. Für später: Das Schnittvolumen von Kugel und Kegel macht 0,7 % des Figurvolumens aus.

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Wenn wir das Schnittvolumen mal außer Acht lassen, können wir den Schwerpunkt der Figur aus den Schwerpunkten der drei Grundformen, gewichtet mit ihren Volumina, errechnen.

Die Kugel hat das Volumen 4*π*r^3/3 = 36*π und ihren Schwerpunkt in der Mitte, die sich 14 Kästchen über dem Spielbrett befindet.

Der Kegel hat das Volumen π*r^2*h/3 = 64*π und seinen Schwerpunkt in Viertelhöhe über seiner Basis. Ein Viertel seiner Höhe ist 12/4 = 3, die Basis befindet sich 2 Kästchen über dem Spielbrett, also liegt der Schwerpunkt des Kegels 3 + 2 = 5 Kästchen über dem Spielbrett.

Der Zylinder hat das Volumen π*r^2*h = 32*π und sein Schwerpunkt liegt auf halber Höhe, das ist 1 Kästchen über dem Spielbrett.

Damit liegt der Schwerpunkt der Figur – π kürzt sich weg – (36*14 + 64*5 + 32*1)/(36 + 64 + 32) = (504 + 320 + 32)/132 = 856/132 = 6,48 Kästchen über dem Spielbrett. Oberhalb dieses Schwerpunkts haben wir 0,7 % des Figurvolumens fälschlicherweise doppelt genommen, also muss der Schwerpunkt noch ein wenig nach unten korrigiert werden.

Genau kann man ihn durch Integrieren gewinnen, indem man die Dicke der Figur abhängig von der Höhe über dem Boden nimmt und von unten nach oben über Höhe mal Querschnittsfläche integriert und am Ende durch das Figurvolumen teilt.

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