Schwarzanteil

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Die Fliesen der Kölner Jesuitenkirche Mariä Himmelfahrt sind in diesem Muster gelegt:

mariae_himmelfahrt_kachelmuster_3

Der Schwarzanteil beträgt 72 1/4 Fliesen auf 11*11 = 121 Fliesen. Das sind 59,71 Prozent.

Johannes Kepler hat sich in Harmonice mundi mit flächenfüllenden Mustern beschäftigt. Wilhelm Schickard sie in Holz geschnitten, zum Beispiel Figur S. Wie groß ist der Schwarzanteil, lässt man da die Zwölfecke weiß und färbt die Dreiecke schwarz?

kepler_zwoelfeck

Es wiederholt sich periodisch ein gleichseitiges Dreieck (rot umrandet), das von Zwölfeckmittelpunkten aufgespannt wird. Im Zentrum enthält es das kleine schwarze Dreieck und außerdem sechs Zwölfecksektoren. Wenn die Seitenlänge des Zwölfecks s ist, dann ist s auch die Seitenlänge des schwarzen Dreiecks. Das schwarze Dreieck hat dann die Fläche (s/2)*(s/2)*tan(60°). Ein Zwölfecksektor hat die Fläche (s/2)*(s/2)*tan(75°), denn (180° – 360°/12)/2 = (180° – 30°)/2 = 150°/2 = 75°. Das Verhältnis von schwarzer zu weißer Fläche ist damit tan(60°)/(6*tan(75°)) ~= 0,07735, knapp 8 Prozent. Der Schwarzanteil dann 0,07735/1,07735 = 0,0718.

Und verwendet man statt des konvexen Zwölfecks den zwölfzackigen Stern aus Figur T?

Die Zacken entstehen, indem jede Zwölfeckkante von einem gleichen schwarzen Dreieck, wie es schon zwischen den Zwölfecken liegt, eingekerbt wird. Jeder Zwölfecksektor vermindert sich damit um eine Dreiecksfläche. Von der weißen Fläche sind sechs Dreiecksflächen abzuziehen, die der einen Dreiecksfläche zuzuschlagen sind. Damit versiebenfacht sich der Schwarzanteil auf 50,26 Prozent.

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