Fraktale Dreiecke

geschachtelte_dreiecke

Wie groß ist das Verhältnis von roter zu blauer Fläche?

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geschachtelte_dreiecke_beschriftet

Die fraktalen Dreiecke sind einander ähnlich und es ist b1/a1 = b0/a0 =: c. Infolge des Strahlensatzes ist a1/b0 = (a0 – b1)/a0 = (a0 – c*a1)/a0.

a1 = c*(a0 – c*a1)
a1*(1 + c^2) = c*a0
a1 = a0*c/(1 + c^2) =: a0*q

b1 = c*a1 = c*a0*q = b0*q

Allgemein sind an = a0*q^n und bn = b0*q^n. Das n-te Dreieck hat die Fläche Fn = an*bn/2 = q^(2*n)*a0*b0/2 = (q^2)^n*a0*b0/2 = (q^2)^n*F0. Jedes zweite Dreieck ist blau, die anderen rot. Die farbigen Flächen ergeben sich dann als:

Frot = F0 – F1 + F2 – F3 + …
Fblau = F1 – F2 + F3 – F4 + … = F0 – Frot

Frot = (F0 + F2 + F4 + …) – (F1 + F3 + F5 + …)
= F0*(1 + q^4 + q^8 + …) – F1*(1 + q^4 + q^8 + …)

Das sind geometrische Reihen.

Frot = F0/(1 – q^4) – F1/(1 – q^4)
= (F0 – F1)/(1 – q^4)
= F0*(1 – q^2)/(1 – q^4)

Mit der dritten binomischen Formel:

Frot = F0/(1 + q^2)
Fblau = F0 – Frot = F0*(1 – 1/(1 + q^2)) = F0*(1 + q^2 – 1)/(1 + q^2) = F0*q^2/(1 + q^2)

Und ins Verhältnis gesetzt:

Frot/Fblau = 1/q^2

   c       q       Frot/Fblau   
0,1 0,10 102
0,2 0,19 27
0,3 0,28 13
0,4 0,34 8,4
0,5 0,4 6,25
0,6 0,44 5,1
0,7 0,47 4,5
0,8 0,49 4,2025
0,9 0,50 4,04
1 0,5 4

In der Grafik am Anfang war c = 0,8 und die rote Fläche ist gut das Vierfache der blauen.

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Interessieren könnte auch die Frage, wo sich das Auge des Wirbels befindet, in dem die Dreiecke verschwinden.

geschachtelte_dreiecke_beschriftet

Bei ersten Schritt erhöht sich die untere Grenze für die x-Koordinate des Auges um a0 – b1 = a0 – c*a1 = a0 – c*q*a0 = a0*(1 – c*q) und die untere Grenze für seine y-Koordinate um b0 – a1 = c*a0 – q*a0 = a0*(c – q). Ins Unendliche fortgesetzt ergeben sich unter Beachtung der Drehungen die Grenzwerte:

xauge >
a0*(1 – c*q)*(1 + q^4 + q^8 + …) + a3*(c – q)*(1 + q^4 + q^8 + …) =
(a0*(1 – c*q) + a3*(c – q))*(1 + q^4 + q^8 + …)
xauge >=
(a0*(1 – c*q) + a3*(c – q))/(1 – q^4) =
a0*(1 – c*q + c*q^3 – q^4)/(1 – q^4) =
a0*(1 – c*q*(1 – q^2)/(1 – q^4) =
a0*(1 – c*q/(1 + q^2))

xauge <
a0 – (a1*(c – q)*(1 + q^4 + q^8 + …) + a2*(1 – c*q)*(1 + q^4 + q^8 + …) =
a0 – (a1*(c – q) + a2*(1 – c*q))*(1 + q^4 + q^8 + …)
xauge <= a0 – (a1*(c – q) + a2*(1 – c*q))/(1 – q^4) =
a0*(1 – (c*q – q^2 + q^2 – c*q^3)/(1 – q^4) =
a0*(1 – c*q*(1 – q^2)/(1 – q^4)) =
a0*(1 – c*q/(1 + q^2)

yauge >
a0*(c – q)*(1 + q^4 + q^8 + …) + a1*(1 – c*q)*(1 + q^4 + q^8 + …) =
(a0*(c – q) + a1*(1 – c*q))*(1 + q^4 + q^8 + …)
yauge >= (a0*(c – q) + a1*(1 – c*q))/(1 – q^4) =
a0*(c – q + q – c*q^2)/(1 – q^4) =
a0*c*(1 – q^2)/(1 – q^4) =
a0*c/(1 + q^2) =
b0/(1 + q^2)

yauge <
b0 – (a2*(c – q)*(1 + q^4 + q^8 + …) + a3*(1 – c*q)*(1 + q^4 + q^8 + …) =
b0 – (a2*(c – q) + a3*(1 – c*q))*(1 + q^4 + q^8 + …)
yauge <= b0 – (a2*(c – q) + a3*(1 – c*q))/(1 – q^4) =
b0 – a0*(c*q^2 – q^3 + q^3 – c*q^4)/(1 – q^4) =
b0 – a0*c*q^2*(1 – q^2)/(1 – q^4) =
b0 – a0*c*q^2/(1 + q^2) =
b0*(1 – q^2/(1 + q^2)) =
b0*(1 + q^2 – q^2)/(1 + q^2) =
b0/(1 + q^2)

Das Auge befindet sich bei 1 – c*q/(1 + q^2) der Anfangsseite a0 und 1/(1 + q^2) der Anfangsseite b0.

   c       xauge in %       yauge in %   
0,1 99 99
0,2 96 96
0,3 92 93
0,4 88 89
0,5 83 86
0,6 78 84
0,7 73 82
0,8 68 81
0,9 64 80
1 60 80

geschachtelte_dreiecke_auge

Zuguterletzt ein Bild vom Fall c = 1:

geschachtelte_dreiecke_c_1

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