Quadratewirbel

wirbelquadrate_2

Die Ecken des n-ten Quadrats teilen 1/n von den Seiten des nächstgrößeren Quadrats ab. Wie groß ist die rote Fläche im Vergleich mit der blauen?

wirbelquadrate_schritt

Aus der Vorschrift, wie in ein Quadrat das nächste einzuschreiben ist, kann man dessen Fläche im Vergleich mit dem vorigen bestimmen. Pythagoras gibt:

s(n+1)^2 =
((n/(n+1))^2 + (1/(n+1))^2)*s(n)^2 =
((n^2 + 1)/(n + 1)^2)*s(n)^2

F(n+1) = F(n)*(n^2 + 1)/(n + 1)^2

Normieren wir F(1) auf 1, erhalten wir rekursiv:

n F(n) (n^2 + 1)/(n + 1)^2
1 1 2/4
2 0,5 5/9
3 0,28 10/16
4 0,17 17/25
5 0,12 26/36
6 0,09 37/49

Der Faktor strebt gegen eins, weil die Ecken des nächsten immer näher an die Ecken des vorigen heranrücken. Die Flächen aufeinanderfolgender Quadrate werden immer weniger kleiner.

wirbelquadrate_schranken

Mit jedem Schritt ziehen sich die Schranken fürs Verhältnis von Rot zu Blau im Unendlichen enger. Ganz links ist es eine obere Schranke, weil noch was Blaues hinzukommt. Daneben eine untere Schranke, weil noch was Rotes hinzukommt. Daneben wieder eine obere, die kleiner ist als die vorige von ganz links, weil mehr Blau da ist. Und rechts wieder eine untere, die größer als die vorige ist, weil mehr Rot drin ist.

O U
F(1)/0 (F(1)-F(2))/F(2)
(F(1)-F(2)+F(3))/(F(2)-F(3)) (F(1)-F(2)+F(3)-F(4))/(F(2)-F(3)+F(4))

Allgemein mit S(n) = Summe(i=1..n, (-1)^(i-1)*F(i)):
O(n) = S(2*n-1)/(F(1) – S(2*n-1))
U(n) = S(2*n)/(F(1) – S(2*n))

n O(n) U(n)
1 unendlich 1
2 3,5 1,53
3 2,6 1,75
4 2,35 1,87
5 2,24 1,93
573 2,060991 2,060965
1355 2,060980 2,060975

Schöner wäre einen exakten Wert als Ausdruck irgendwelcher Wurzeln zu haben, aber ein Ergebnis stellt auch dieser numerisch gewonnene von 2,060978 +- 0,000003 dar. Insofern zufrieden.

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