Sternsingeraufgabe

sternsingeraufgabe

Die farbigen Umrisse dieser Sterne sind gleich lang. Das Verhältnis von Innenradius zu Außenradius ist beim grünen Stern 0,445, beim roten 0,724 und beim blauen 0,903. Wie groß wird es bei einem zwölfzackigen Stern sein?





















































sternsingeraufgabe_loesung

Es genügt, einen halben Lichtstrahl zu betrachten. Er ist ein Dreieck, begrenzt von einer Zackenseite a, dem Innenradius ri und dem Außenradius ra. Wenn n die Zackenanzahl ist, schließen Innen- und Außenradius den Winkel (2*pi)/(2*n) = pi/n ein. Fällt man ein Lot auf den Außenradius, hat es die Länge ri*sin(pi/n). Es teilt den Außenradius in innen ri*cos(pi/n) und außen ra – ri*cos(pi/n).

Im Dreieck außen kann man nun Pythagoras anwenden: a^2 = (ri*sin(pi/n))^2 + (ra – ri*cos(pi/n))^2 = ri^2 – 2*ri*ra*cos(pi/n) + ra^2.

Der Umriss L = 2*n*a soll unabhängig von der Zackenanzahl konstant bleiben, daher können wir a durch L/(2*n) ersetzen. Außerdem ist der Außenradius aller Sterne fest, weshalb d := L/ra eine Konstante ist. Nennen wir c:= ri/ra, dann haben wir eine quadratische Gleichung für c in Abhängigkeit von n:

(d/(2*n))^2 = c^2 – 2*c*cos(pi/n) + 1

Indem wir diese Gleichung nach d auflösen:

d = 2*n*Wurzel(c^2 – 2*c*cos(pi/n) + 1)

können wir die Konstante aus den drei angegebenen Verhältnissen bestimmen:

n = 5, c = 0,445 => d = 6,914
n = 8, c = 0,724 => d = 6,908
n = 18, c = 0,903 => d = 6,910

Der Mittelwert ist d = 6,911.

Wir suchen aber ein c. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen c = cos(pi/n) +- Wurzel((cos(pi/n)^2 – 1 + (d/(2*n))^2) = cos(pi/n) +- Wurzel((d/(2*n))^2 – (sin(pi/n))^2). Welche der beiden Lösungen ist zu verwerfen? Äh, die größere wohl, weil ri < ra bleiben soll. Hmpf.

Auf diese Weise erhalten wir als Verhältnis von Innenradius zu Außenradius bei einer Zackenanzahl von 12:

n = 12, d = 6,911 => c = 0,840.

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