Kreispackung

kreispackung

Wieviel blaue Kreise braucht es, damit die roten Kreise annähernd den a) halben bzw. b) dreiviertel Durchmesser der blauen erreichen?



























































kreispackung_loesung_skizze

alpha ist der halbe Zentralwinkel, der bei n blauen Kreisen pi/n groß ist. Dann sind
s := sin(alpha) = sin(pi/n)
c := cos(alpha) = cos(pi/n)
tan(alpha) = s/c.

Wir suchen das Verhältnis von r1 zu r0:
d := r1/r0.

Die Strecke a ist bestimmt durch
tan(alpha) = s/c = r1/a
<=> a = r1*c/s
Und nach Pythagoras ist
b = Wurzel((r0 + r1)^2 – r1^2) = Wurzel(r0^2 + 2*r0*r1) = r0*Wurzel(1 + 2*d)

Nun haben wir im großen rechtwinkligen Dreieck:
sin(alpha) = s = r0/(a + b) = r0/(r1*c/s + r0*Wurzel(1 + 2*d)) = r0/(r0*d*c/s + r0*Wurzel(1 + 2*d)) = 1/(d*c/s + Wurzel(1 + 2*d))
<=> 1 = s*(d*c/s + Wurzel(1 + 2*d)) = d*c + s*Wurzel(1 + 2*d)
<=> 1 – d*c = s*Wurzel(1 + 2*d)
<=> (1 – d*c)^2 = s^2*(1 + 2*d)
<=> 1 – 2*d*c + d^2*c^2 = s^2 + 2*s^2*d
<=> c^2*d^2 – 2*(c + s^2)*d + (1 – s^2) = c^2*d^2 – 2*(c + s^2)*d + c^2 = 0

Bei n > 2 ist c = cos(pi/n) != 0, daher geht es unter dieser Randbedingung weiter mit:
<=> d^2 – 2*((c + s^2)/c^2)*d + 1 = 0

Somit haben wir d als quadratische Funktion von s und c und damit von n gewonnen. Die beiden Lösungen sind:
d = p_halbe +- Wurzel(p_halbe^2 – 1) mit p_halbe := (c + s^2)/c^2.
+ ist zu groß, – passt.

Weil n diskret ist, braucht es nicht freigestellt zu werden, sondern es genügt eine Wertetabelle aufzustellen:

n sin(pi/n)    cos(pi/n)    d
3 0,8660 0,5000 0,1010
4 0,7071 0,7071 0,2168
5 0,5878 0,8090 0,3108
6 0,5000 0,8660 0,3861
7 0,4339 0,9010 0,4471
8 0,3827 0,9239 0,4974
9 0,3420 0,9397 0,5394
10 0,3090 0,9511 0,5750
11 0,2817 0,9595 0,6056
12 0,2588 0,9659 0,6321
13 0,2393 0,9709 0,6553
14 0,2225 0,9749 0,6757
15 0,2079 0,9781 0,6939
16 0,1951 0,9808 0,7101
17 0,1837 0,9830 0,7248
18 0,1736 0,9848 0,7380
19 0,1646 0,9864 0,7500
20     0,1564 0,9877 0,7609
21 0,1490 0,9888 0,7710

Bei n = 8 ist d am nächsten an 0,5 dran und bei n = 19 am nächsten an 0,75.

kreispackung_loesung

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