Pralblume

prilblume

In welchem Mengenverhältnis benötigt man die vier Farbpigmente?

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Konstruiert schaut es so aus, alle Kreise sind gleichgroß:

prilblume_kreise

Es gilt drei Schnittflächen zu bestimmen:

1. Die kleinere Schnittfläche zweier Kreise S2:

pralblume_s2

Beider Zentren sind r*Wurzel(2) auseinander. Der Öffnungswinkel ist daher pi/2. Die halbe Schnittfläche ist der Viertelkreissektor, welcher die Fläche pi*r^2/4 hat, minus dem Dreieck, welches die Fläche r^2/2 hat =>

S2 = 2*(pi*r^2/4 – r^2/2) = r^2*(pi/2 – 1) = r^2*0,5708.

2. Die größere Schnittfläche zweier Kreise S3:

pralblume_s3

Das eine Zentrum liegt wieder bei r*(-Wurzel(2), 0), das andere bei r*(-1, -1). Damit liegen sie r*Wurzel((Wurzel(2) – 1)^2 + 1) = r*Wurzel(2 – 2*Wurzel(2) + 1 + 1) = r*Wurzel(4 – 2*Wurzel(2)) = r*2*Wurzel(1 – 1/Wurzel(2)) auseinander. Der Öffnungswinkel ergibt sich aus cos(winkel) = Wurzel(1 – 1/Wurzel(2)) als arccos(Wurzel(1 – 1/Wurzel(2)) ~= 123°. Die halbe Schnittfläche ist dann der Kreissektor, der die Fläche (123°/360°)*pi*r^2 ~= r^2*1,0713 hat, minus dem Dreieck, das die Fläche r*Wurzel(1 – 1/Wurzel(2))*r*sin(winkel) ~= r^2*0,4551 hat =>

S3 ~= r^2*2*(1,0713 – 0,4551) = r^2*2*0,6162 ~= r^2*1,2325.

Leider haben wir da beim vormaligen Rechnen r^2*1,088 rausbekommen. Der Wert ist daher sehr unsicher.

3. Die Schnittfläche dreier Kreise S1:

pralblume_s1

Schwieriger ist die Schnittfläche dreier Kreise zu bestimmen. Ihre Eckpunkte haben die Koordinaten:
A = r*(-Wurzel(2), -1)
B = r*(-1 – Wurzel(2), -1) + my*(1 + Wurzel(2), 1) mit my = (2 + Wurzel(2) – Wurzel((1 + Wurzel(2))^2 – 1))/(1 + (1 + Wurzel(2))^2)
C = r*(-1 – Wurzel(2) + 1/Wurzel(2), -1 + 1/Wurzel(2))

Das sind ungefähr die Koordinaten:
A = r*(-1,4142, -1)
B = r*(-1,9840, -0,8218)
C = r*(-1,7071, -0,2929)

Die Dreiecksseiten ergeben sich damit als
a = |BC| = Wurzel((B – C)^2) = r*0,5970
b = |AC| = r*0,7654
c = |AB| = r*0,5970

Und die Winkel als
alpha = 34,7°
beta = 45°
gamma = 34,7°

Die Schnittfläche S1 setzt sich nun zusammen aus dem Dreieck ABC und den drei Kreissegmenten, die es beranden. Ein solches Kreissegment hat die Fläche Kreissektor minus Dreieck. Das Kreissegment zum Winkel beta z.B. ist ein Achtelkreis mit dem Radius r minus (b/2)*r*cos(beta/2). Die drei Kreissegmente sind damit:
S11 = (alpha/360°)*pi*r^2 – (a/2)*r*cos(alpha/2) ~= r^2*0,0182
S12 = r^2*0,0391
S13 = r^2*0,0182

Das Dreieck ABC ist zum Glück gleichschenklig und damit das Doppelte eines rechtwinkligen. Seine Fläche ist:
D = 2*(b/2)*(b/2)/tan(beta/2) = r^2*0,1754

Also ist
S1 = S11 + S12 + S13 + D = r^2*0,2510.

Insgesamt haben wir:
S1 = r^2*0,2510
S2 = r^2*0,5708
S3 = r^2*1,2325

prilblume_kreise

Nun finden wir für die Größen der farbigen Flächen, wenn wir die Kreisfläche pi*r^2 = K nennen:
Orange = K = r^2*3,1416
Blau = 4*(K – S2) = 4*r^2*(3,1416 – 0,5708) = r^2*10,2832
Grün = 4*(K – 2*S3 + S2 – 2*S1) = 4*r^2*(3,1416 – 2*1,2325 + 0,5708 – 2*0,2510) = r^2*2,9816
Gelb = 8*(K – 2*S2 + S1) = 8*r^2*(3,1416 – 2*0,5708 + 0,2510) = r^2*18,0079

Das ist ein Verhältnis von Orange : Blau : Grün : Gelb = 3,1 : 10,3 : 3,0 : 18,0 oder 1 : 3,27 : 0,95 : 5,73.

Zur Kontrolle: Alle Flächen zusammen sind r^2*(3,14 + 10,28 + 2,98 + 18,01) = r^2*34,41. Sie müssen kleiner sein als der umfassende Kreis mit dem Radius etwas größer als Wurzel(2) + 2. Der hätte die Fläche pi*(Wurzel(2) + 2)^2 = 36,62.

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

(War eine ziemlich schwere Geburt, die aller Voraussicht nach auch noch falsch ist.)

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