Baseballs

baseballs_2

In welchem Größenverhältnis stehen diese farbigen Baseballflächen zueinander?

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baseball_skizze

Eine ganze Baseballfläche ist das Vierfache dieser grünen hier. Die grüne Fläche lässt sich zusammensetzen aus einem großen Kreissektor mit Zentralwinkel alpha minus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a und b plus oben dem kleinen Kreissektor mit Zentralwinkel beta.

tan(alpha) ist b/a. beta ist 90° – alpha. Der kleine Kreis hat den Radius a, der große den Radius Wurzel(a^2 + b^2) + a.

Nennen wir b/a =: d, dann ist alpha = arctan(d), beta = pi/2 – arctan(d), r1 = a, r2 = a*(1 + Wurzel(1 + d^2)).

Die Viertelbaseballfläche berechnet sich damit zu:

F/4 = (alpha/(2*pi))*pi*r2^2 – a*b/2 + (beta/(2*pi))*pi*r1^2
= (alpha/2)*a^2*(1 + Wurzel(1 + d^2))^2 – a^2*d/2 + (beta/2)*a^2
= a^2*((alpha/2)*(1 + 2*Wurzel(1 + d^2) + 1 + d^2) – d/2 + beta/2)
= a^2*((alpha/2)*(2 + 2*Wurzel(1 + d^2) + d^2) – d/2 + beta/2)
= a^2*(alpha + alpha*Wurzel(1 + d^2) + alpha*d^2/2 – d/2 + pi/4 – alpha/2)
= a^2*(arctan(d)*(1 + 2*Wurzel(1 + d^2) + d^2) + pi/2 – d)/2

Und die ganze zu:

F = 2*a^2*(arctan(d)*(1 + 2*Wurzel(1 + d^2) + d^2) + pi/2 – d)

In der Aufgabenskizze ist ersichtlich, dass beim roten Baseball d = 1 ist, beim grünen d = 2 und beim blauen d = 3. Weil wir die Flächen ins Verhältnis zueinander setzen wollen, kürzt sich 2*a^2 weg und wir kriegen folgende Werte raus:

d      alpha      F/(2*a^2)
1 45° 4,36
2 63,4° 10,06
3 71,6° 18,96

Die Flächen stehen zueinander im Verhältnis Frot : Fgrün : Fblau = 4,4 : 10,1 : 19,0 = 1 : 2,31 : 4,35. Ein blauer Baseball ist somit nur ganz wenig größer als ein grüner und zwei rote zusammen.

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