Kartenblatt

Franz Bisamkopf versteckt sein Gesicht gern hinter einer Spielkarte.

spielkartenblatt_eine_450x600

Sein Freund Egon schlägt vor ein Blatt von drei Karten zu nehmen.

spielkartenblatt_drei_450x600

So Franz die Karten so hält, wieviel mehr von seinem Gesicht verdeckt er dann?

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Wenn die kurze Seite der Spielkarte a lang ist und die lange b, dann kann man dem Muster auf ihrer Rückseite beim Blatt von drei Stück entnehmen, dass b^2 = a^2 + a^2 ist und damit b = a*Wurzel(2).

Links und rechts stehen zwei Dreiecke über, die die Katheten a und die Hypotenuse b haben. Zusammen sind sie a^2 groß. Unten stehen zwei Dreiecke über, die die Katheten b – a = a*(Wurzel(2) – 1) haben. Zusammen sind sie (b – a)^2 = a^2*(Wurzel(2) – 1)^2 = a^2*(2 – 2*Wurzel(2) + 1) = a^2*(3 – 2*Wurzel(2)) groß. Doch in der Mitte überlappen sie sich. Das Überlappungsdreieck hat die Hypotenuse 2*(b – a)*Wurzel(2) – a = a*(2*(Wurzel(2) – 1)*Wurzel(2) – 1) = a*(2*Wurzel(2)*Wurzel(2) – 2*Wurzel(2) – 1) = a*(4 – 2*Wurzel(2) – 1) = a*(3 – 2*Wurzel(2)). Seine Katheten sind daher a*(3/Wurzel(2) – 2) und seine Fläche ist a^2*(9/2 – 12/Wurzel(2) + 4)/2 = a^2*(17/4 – 6/Wurzel(2)). Diese Fläche ist abzuziehen, sodass wir als abgedeckte Fläche der so gehaltenen drei Karten erhalten:

F3 = a^2*(Wurzel(2) + 1 + 3 – 2*Wurzel(2) – 17/4 + 6/Wurzel(2)) = a^2*(6/Wurzel(2) – 1/4 – Wurzel(2))

Das ist ins Verhältnis zu einer Karte zu setzen, die die Fläche F1 = a^2*Wurzel(2) hat. Also:

F3/F1 = 3 – 1/(4*Wurzel(2)) – 1 = 2 – 1/(4*Wurzel(2)) ~= 1,82.

Das Blatt von drei Karten verdeckt 182 Prozent von dem, was nur eine Karte verdeckt.

Schreibe einen Kommentar

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s


%d Bloggern gefällt das: