Halbkreis ausfüllen

halbkreis_balken_5

Legt man einen Halbkreis so mit n Balken gleicher Höhe aus (in der Skizze ist n = 5; der oberste Balken hat immer keine Fläche, weil er keine Breite hat), bei welchem n unterschreitet dann die Abweichung der roten Fläche von der wahren Halbkreisfläche die 5-%-Hürde?

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Wenn der Halbkreis den Radius r hat, hat jeder der n Balken die Höhe h = r/n. Die Breite ergibt sich nach Pythagoras als b = 2*Wurzel(r^2 – (i*h)^2) = 2*Wurzel(r^2 – r^2*i^2/n^2) = 2*r*Wurzel(1 – (i/n)^2). Die Fläche des i-ten Balkens ist somit F(i) = b*h = 2*r^2*Wurzel(1 – (i/n)^2)/n. Für die rote Fläche müssen die Flächen aller Balken von i = 1 bis n addiert werden. Zur Kontrolle: Der oberste Balken trägt nichts zur Fläche bei, weil bei i = n die Wurzel 0 ist.

Setzt man r = 1, hat der Halbkreis die Fläche pi/2 ~= 1,571 und für die rote Fläche kriegt man mit zunehmendem n raus:

n      rote Fläche    % der Halbkreisfläche
1 0 0
2 0,866 55,1
3 1,123 71,7
4 1,248 79,4
5 1,319 83,9
6 1,364 86,9
7 1,396 88,9
8 1,420 90,4
9 1,438 91,5
10 1,452 92,4
11 1,464 93,2
12 1,473 93,8
13 1,481 94,3
14 1,488 94,7
15 1,494 95,1
16 1,499 95,4

Bei n = 15 ist es soweit, dass die Abweichung die 5-%-Hürde unterschreitet.

halbkreis_balken_15

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