Dreiecksreferat (Forts.)

Sanjiao schläft schlecht ein. Die neunte Aufgabe fehlt mir ja. Kann ich nicht liefern, blamiere ich Großvater vor Mathematiker Zhu. Was tun? Aber hat Laozi nicht gesagt: 千里之行,始於足下。 Eine Reise von tausend Meilen beginnt mit einem ersten Schritt? Und was mir fehlt, ist nur der letzte Schritt: 千里之行,终於足下。 Soviel Spielraum müssen sie mir geben. Sagt Plato (柏拉图) nicht: Nichts auf der Welt ist vollständig. Würden wir sonst einen Grund für ein Bestreben haben? Und sagt Goethe (歌德) nicht: Wer immer strebend sich bemüht, den können wir erlösen?

Er versucht das Glas halb voll zu sehen und freut sich am Anklang, den die Seerose gefunden hat. Wie in der fünften Aufgabe ranken sich Tentakeln des Schlafs sein Bewusstsein empor und … ersticken es.

Den nächsten Morgen setzen sie ihre Stunde fort. Sanjiao nimmt ein Blatt vom Stapel und liest:

„Siebte Frage. An der Spitze eines Baums ist ein Seil festgebunden. Es hängt herunter und drei Fuß vom Seil liegen auf der Erde. Nimmt man das Ende in die Hand und entfernt sich vom Baum, kann man acht Fuß weit gehen, bis das Seil erschöpft ist. Wie lang ist das Seil?“

Er zeigt eine Zeichnung:

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„Wenn das Seil l Fuß lang ist, ist der Baum l – 3 Fuß hoch, denn 3 Fuß vom Seil liegen anfangs auf der Erde. 8 Fuß entfernt vom Baum ist das Seil straff gespannt. Die Hypotenuse ist also die Seillänge und nach Pythagoras ist l^2 = (l – 3)^2 + 8^2 = l^2 – 6*l + 9 + 64. Es bleibt 6*l = 73, das macht eine Seillänge von 12 1/6 Fuß.“

„Nicht schlecht.“, lässt Zhu verlauten. Zhao ist sehr stolz auf seinen Enkel.

„Achte Frage. Eine Mauer ist einen Zhang hoch. An ihr lehnt ein Baumstamm so, dass sein Ende mit der Mauerkrone abschließt. Zieht man den Baum einen Fuß zurück, liegt er flach auf dem Erdboden. Wie lang ist der Baumstamm?“

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„Dass der Stamm unten etwas weiter nach links ragt, sieht man leider kaum. Das liegt daran, dass ein Fuß ziemlich wenig ist gegenüber der Stammlänge l. Denn l = 1 + Wurzel(l^2 – 10^2) oder (l – 1)^2 = l^2 – 100. Daraus folgt 2*l = 101 oder l = 101/2, das sind 50 einhalb Fuß.“

„Nicht schlecht, Herr Specht.“, lobt Zhu wieder. Nun nestelt Sanjiao an seinen Hemdknöpfen: „Großvater, die neunte Aufgabe verstehe ich nicht.“ „Na, mir musst du das nicht beichten, ich versteh eh kaum die Hälfte.“ Sanjiao blickt zum Mathematiker Zhu rüber. „Das macht nichts. Wie lautet sie denn?“

Sanjiao gibt ihm den Text zu lesen:

今有圓材,埋在壁中,不知大小。以鐻鐻之,深一寸,鐻道長一尺。問徑幾何?
答曰:材徑二尺六寸。
術曰:半鐻道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

Zhu streicht sich übers Kinn. „Etwas Rundes ist in der Wand verborgen. Klopft man die Wand mit einem Trommelstab ab, einen Zoll tief, dann legt der Trommelstab einen Weg von einem Fuß zurück. Welchen Durchmesser hat das Runde? – Nein, das verstehe ich auch nicht. Ich müsste in meinen Unterlagen von damals nachgucken. Lassen wir diese Aufgabe aus und am besten, du lässt sie beim Referat auch aus. Oder besser noch, du lässt sie ohne Erläuterung so in ihrem ursprünglichen Wortlaut drin. Dann kriegen deine Mitschüler einen Eindruck von der Sprache des alten Texts und vielleicht hast du das Glück, dass einer den Sinn drin entdeckt, verstehst du?“ Begeistert nickt Sanjiao. Dann fällt ihm die Lehrerin ein, die strengen Wert auf Vollständigkeit legt und sein Kopf bleibt hängen. „Sag der Klasse, der alte Zhu hat’s auch nicht gewusst!“, muntert dieser ihn auf.

„Also jetzt die zehnte Aufgabe. Drückt man ein Doppelflügeltor (門) so auf, dass es einen Fuß weit eingebuchtet ist, lassen die Flügel einen zwei Zoll breiten Spalt. Wie breit ist das Tor?“

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„Warte. Ich will es versuchen.“, sagt Zhu. „Die halbe Spaltbreite ist ein Zoll. Wenn b die Breite eines Flügels ist, dann gibt uns Pythagoras: b^2 = 10^2 + (b – 1)^2. Denn wir rechnen in Zoll und die Tiefe der Einbuchtung von einem Fuß sind zehn Zoll. Ausmultiplizieren ergibt die Gleichung: b^2 = 100 + b^2 – 2*b + 1 oder 2*b = 101. Das Tor ist zwei Flügel breit, also eben jene 101 Zoll.“

„Sie haben recht, Mathematiker Zhu. Als Lösung geben die Neun Kapitel einen Zhang und einen Zoll an.“

Zhao kommt aus der Küche wieder, er hat wieder Tee aufgesetzt.

„Jetzt eine einflüglige Tür (戶). Das ist die elfte Aufgabe. Sie ist sechs Fuß und acht Zoll höher als breit. Von einer Ecke diagonal zur anderen ist es ein Zhang. Wie hoch und breit ist die Tür?“

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„Das kann auch ich!“, beeilt sich Zhao. „Rechnen wir in Zoll. Die Diagonale ist 100 Zoll lang, die Höhe 68 Zoll größer als die Breite. Mit euerm Hellenen ist dann 100^2 = b^2 + (b + 68)^2 = b^2 + b^2 + 2*68*b + 68^2. Die Breitenquadrate heben sich weg und es bleibt: b = (10000 – 68^2)/2.“ Er blickt Sanjiao an: „Dein Handy?“ Sanjiao gibt die Zahlen ein: „68^2 ist 4624, das von 10000 abgezogen bleiben 5376 Zoll.“ Die anderen blicken Zhao an. „Oh! Zuviel. Viel viel mehr als die Diagonale.“ „Großvater, die Quadrate heben sich nicht weg.“ „Stimmt. Wer kann das ausrechnen?“ Zhu: „Lassen wir es Sanjiao vorrechnen.“ „Es ist eine quadratische Gleichung für die gesuchte Türbreite b. Nämlich: b^2 + 68*b – 2688 = 0. Sie hat zwei Lösungen, nämlich b = -34 +- Wurzel(34^2 + 2688). 34^2 ist 1156, plus 2688 macht 3844. Daraus die Wurzel ist 62. Nur eine Lösung ist positiv, hämlich 28. Wenn die Türbreite 28 Zoll ist, dann ist die Türhöhe 68 Zoll mehr, das sind 96 Zoll.“

„Und so steht’s auch in den Neun Kapiteln, was?“, fragt Zhu. „Ja, da steht 廣二尺八寸;高九尺六寸。“ „Du hast es mit der pq-Formel gelöst, ich frage mich, welchen Rechenweg die Neun Kapitel angeben?“ Sanjiao schaut sprachlos. „Na egal, ich werde zuhause in meinen Unterlagen nachgucken. Mach mal weiter, eine Aufgabe machen wir noch vor dem Mittagessen.“

„Die zwölfte. Wieder eine einflüglige Tür (戶), von der man nicht weiß, wie breit und wie hoch sie ist. Misst man sie mit einer langen Stange aus, von dem man nicht weiß, wie lang sie ist, stellt man fest, dass die Stange vier Fuß länger ist als die Tür breit und zwei Fuß länger als die Tür hoch. Legt man die Stange aber diagonal an die Tür an, dann schließt sie genau mit den Ecken ab. Wie hoch und wie breit ist die Tür und wie lang ist die Stange?“

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„Du hast mal einen Zirkel benutzt, das ist löblich.“, sagt Zhao.

„Also nach Pythagoras ist l^2 = b^2 + h^2. Wir wissen, dass b = l – 4 ist und h = l – 2. Setzen wir das ein, haben wir nur noch die Variable l in der Gleichung: l^2 = (l – 4)^2 + (l – 2)^2 = l^2 – 8*l + 16 + l^2 – 4*l + 4 = 2*l^2 – 12*l + 20. Das ist eine quadratische Gleichung für die Stangenlänge l: l^2 – 12*l + 20 = 0. Mit der pq-Formel kriegen wir raus: l = 6 +- Wurzel(36 – 20) = 6 +- Wurzel(16). Wurzel(16) ist 4, also ist l entweder 2 oder 10. 2 kann l nicht sein, denn dann hätte die Tür negative Breite und Höhe. Also ist die Stange 10 Fuß, das ist ein Zhang, lang und die Tür sechs Fuß breit und acht Fuß hoch.“

„Prima! Mittagessen!“

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