Dreiecksreferat (Schluss)

Den nächsten Morgen klatscht Mathematiker Zhu nach dem Frühstück in die Hände: „Und nun die letzte Tranche. Auf, Sanjiao!“ Der Knabe nimmt wieder ein Blatt Papier von seinem Stapel.

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„Es geht noch weiter mit Stadtplänen. Wieder eine Stadt mit quadratischem Grundriss unbekannter Größe, in der Stadtmauer nach jeder Himmelsrichtung hin in der Mitte ein Tor. Ich hab das mal gezeichnet. Dreißig Schritte aus dem Nordtor heraus steht ein Baum. 750 Schritte aus dem Westtor heraus kann man den Baum sehen. Welche Fläche hat die Stadt?“

„Zhao?“, fragt Zhu. Der Maler Zhao: „Na gut. Nachdem ihr mir das gestern so schön vorgerechnet habt, will ich es versuchen. Sagen wir, die Stadtfläche ist x^2 groß. Dann haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit x + 30 und x + 750 als Katheter. Die Hypothenuse soll die Ecke der Stadtmauer streifen. Dafür muss sich x zu x + 30 verhalten wie 750 zu x + 750.“ Er blickt die Experten an: „Richtig?“ „Korrekt“, bestätigt Zhu. „Also ist x*(x + 750) = 750*(x + 30). Ausmlutizitiert ist das x^2 + 750*x = 750*x + 750*30. Prima, das 750 mal x kann man streichen. x = Wurzel(750*30). Sanjiao?“ Der Knabe zückt sein Handy: „750*30 sind 22500. Daraus die Wurzel ist genau 150.“ „Also ist die Stadt 300 mal 300 Schritt groß.“, schließt Zhao zufrieden. „Sehr gut.“, lobt Zhu. „Steht das auch so in den Neun Kapiteln, Sanjiao?“ Der sagt: „Da steht als Lösung eine Meile (里).“ „Nojo, dann wissen wir jetzt, dass eine Meile (里 lĭ) dreihundert Schritt (步 bù) sind, nech? Vielleicht brauchen wir das noch.“

„Jetzt die zwanzigste. Dasselbe noch mal. Wieder eine Stadt mit quadratischem Grundriss unbekannter Größe. Zwanzig Schritt aus dem Nordtor heraus kommt ein Baum. Geht man aus dem Südtor heraus vierzehn Schritt und dann nach Westen 1775 Schritte, kann man den Baum sehen. Wie groß ist die Stadt?“

Zhu: „Das ist nicht wesentlich anders. Nur bildet die Ecke des rechten Winkels nicht länger das Stadtzentrum, sondern ein Punkt x + 14 Schritte weiter südlich. Hast du eine Karte?“

Sanjiao zeigt seine Zeichnung vor: „Das ist das Gebiet.“

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Zhu rechnet: „Also die eine Kathete ist 1775 Schritt lang, die andere 20 + 2*x + 14, das sind 2*x + 34 Schritte. Die Sichtachse touchiert wieder die Nordwestecke der Stadtmauer, daher verhält sich nach dem Strahlensatz 1775 – x zu 2*x + 14 wie 1775 zu 2*x + 34. Die Nenner in die Zähler gebracht ist das: (1775 – x)*(2*x + 34) = 1775*(2*x + 14). Ausmultipliziert ergibt das: 3550*x + 34*1775 – 2*x^2 – 34*x = 3550*x + 14*1775. Das ist eine quadratische Gleichung für die halbe Stadtbreite x: x^2 + 17*x – 10*1775 = 0. Dann ist x = -17/2 +- Wurzel(17^2/4 + 10*1775). Sanjiao?“ Sanjiao tippt und verkündet: „17^2 ist 289, 40*1775 71000, zusammen 71289. Daraus die Wurzel ist genau 267!“ „Prima! -17 + 267 sind 250, das noch halbiert ergibt für die halbe Stadtbreite und -höhe 125 Schritt.“ „Stimmt. Die Seite des Stadtplanquadrats ist 250 Schritt lang, steht in der Lösung.“

„Und die nächste? Bleiben wir in Städten bzw. ihrem Umland?“, fragt Zhao, der sich lieber in Landschaften wünschte.

„Ja, es geht fast gleich weiter. Die einundzwanzigste Aufgabe fragt: Eine Stadt hat quadratischen Grundriss mit einer Seitenlänge von zehn Meilen. Person A und Person B gehen diesmal vom Stadtzentrum aus. B geht nach Osten, A nach Süden, wir wissen nicht, wieviel Schritt, dann biegt er nach Nordost ab, streift die Ecke der Stadtmauer und begegnet B. A geht mit einer Geschwindigkeit von fünf, Einheit nicht angegeben, B mit einer von 3. Gefragt ist, wie weit sind A und B gegangen bis zu ihrer Begegnung?“

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Zhu: „Also A geht 5/3-mal so schnell wie B. Bis zur Begegnung muss der von A zurückgelegte Weg a daher 5/3 des von B zurückgelegten Wegs b betragen: a = (5/3)*b. A geht eine Kathete und die Hypotenuse, B nur die andere Kathete. Daher muss gelten, nein das geht nicht. Teilen wir den Weg von A auf in die Kathete a1 und die Hypotenuse a2. Dann muss gelten: b^2 + a1^2 = a2^2. Außerdem touchiert die Hypotenuse die Ecke der Stadtmauer, was nach dem Strahlensatz eine weitere Beziehung ergibt: 5 Meilen verhalten sich zu a1 minus 5 Meilen wie b zu a1. Als Formel: 5*a1 = b*(a1 – 5). Daraus kriegen wir raus, dass b = 5*a1/(a1 – 5) ist. Jetzt haben wir… wartet… drei Gleichungen für die drei Unbekannten a1, a2 und b. Das müsste sich lösen lassen.“ Zhao schenkt im Tee ein. „Also wir wissen, dass a1 + a2 = (5/3)*b ist. Also ist b = (3/5)*(a1 + a2) oder b^2 = (9/25)*(a1 + a2)^2. Setzen wir das ein in die zweite Gleichung, erhalten wir: (9/25)*(a1 + a2)^2 + a1^2 = a2^2. Ausmultipliziert und zusammengefasst: (34/25)*a1^2 + (18/25)*a1*a2 = (16/25)*a2^2. Eine quadratische Gleichung für a1 ist das: a1^2 + (9/17)*a2*a1 – (8/17)*a2^2 = 0. Das ergibt a1 = -(9/34)*a2 +- Wurzel((81/34^2)*a2^2 + (8/17)*a2^2). Aus der Wurzel kann man a2/34 rausziehen und es bleibt stehen 81 + 8*68, Sanjiao?“ Der tippt und verkündet: 8 mal 68 sind 544, plus 81 macht 625, daraus die Wurzel ist 25 glatt.“ „Also haben wir für a1 raus, dass es -9 + 25 = (16/34)*a2 ist.“ „Uff!“, stöhnt der Maler Zhao auf. „Damit wissen wir, dass b = (3/5)*(a1 + a2) = (3/5)*((16/34)*a2 + a2) = (3/5)*(50/34)*a2 = (3*5/17)*a2 = (15/17)*a2 ist. Was war jetzt unsere dritte Gleichung?“ „a1 + a2 = (5/3)*b.“ „Ja, genau. Setzen wir a1 und b als Ausdrücke von a2 ein, können wir a2 damit bestimmen. Nun denn: (16/34)*a2 + a2 = (5/3)*(15/17)*a2. Die linke Seite ist (50/34)*a2, die rechte (25/17)*a2. Identität, Mist!“ „Nein, die dritte war die aus dem Strahlensatz: b = 5*a1/(a1 – 5)!“ „Also ersetzen wir hier a1 und b durch die Ausdrücke von a2, dann gibt das: (15/17)*a2 = 5*(16/34)*a2/((16/34)*a2 – 5). Ähhh… a2 wollen wir freistellen. Erst mal mit dem Nenner rechts multiplizieren: (15/17)*a2*((16/34)*a2 – 5) = (80/34)*a2. Ein a2 lässt sich kürzen: (15/17)*((16/34)*a2 – 5) = 80/34. Mal 34 nehmen: 30*((16/34)*a2 – 5) = 80. Das gibt: a2 = 230*34/16 = 115*17/4 = 488,75.“ Zhaos Gesicht ist derweil versteinert. Auch dem Knaben Sanjiao stehen Schweißperlen auf der Stirn. Zhu: „Bringen wir’s zum Ende. Dann ist a1 = (16/34)*(115*17/4) = 2*115*17 = 3910 und b = 5*3910/(3910 – 5) = 5*3910/3905 = 5,0064. Das kann ja wohl nicht sein!!“

„Machen wir eine Pause und spazieren wir durch den Garten, was meint ihr?“, schlägt der Maler vor.

Sanjiao ist derweil im Zimmer geblieben. Er hat die Aufgabe zwar für sein Referat schon mal gerechnet, doch jetzt rechnet er sie halt neu. Übung macht den Meister, sagt er sich. Als die beiden Erwachsenen durch die Verandatür wieder hereinkommen, präsentiert er seine Rechnung: „Achthundert Schritt geht A aus dem Tor heraus nach Süden.“

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„Steht das auch so in den Neun Kapiteln?“, fragt sein Großvater. „Ja. Da steht auch die Länge der Hypotenuse: 4887,5 Schritt. Komisch ist, dass die Kathete von A vom Stadttor aus gemessen angegeben ist, die von B aber vom Stadtzentrum aus: 4312,5 Schritt.“ „Kannst du das mal nachrechnen?“, fragt Zhu. „Augenblick. Die Stadt ist ja 10 Meilen mal 10 Meilen groß, das sind 300 mal 300 Quadratschritt. Jetzt ist die Kathete von A 1500 + 800 Schritt lang, das sind 2300. Die zum Quadrat macht 5.290.000 Schritt. Die Kathete von B ist 4312,5 Schritt lang, das zum Quadrat ist 18.597.656,25. Die Hypotenuse ist mit 4887,5 Schritt angegeben. Zum Quadrat ist das 23.887.656,25. Beide Kathetenquadrate zusammen sind 23.887.656,25. Stimmt überein, 一等一!“ „Sehr schön, Sanjiao. Diesmal hast du sogar mich übertroffen.“ Zhu nickt anerkennend. „Wenn ich bloß wüsste, wo ich den Fehler gemacht hätte…“

„Noch drei Aufgaben, dann haben wir es geschafft.“ Zhao freut sich auf Ende Gelände.

„Das ist die zweiundzwanzigste. Was die vier Biao (表) sind, weiß ich nicht genau. Jedenfalls wird trianguliert. Vielleicht sind es Landvermesserstangen, über die der Baum angepeilt wird. Denn es geht um einen Baum, der vom Menschen, man weiß nicht wie weit, entfernt ist. Die vier Biao werden offenbar auf die Ecken eines Quadrats der Seitenlänge ein Zhang gesteckt, und zwar wird das Quadrat so gelegt, dass seine linke Seite verlängert gerade zum Baum führt. Visiert man vom hinteren Biao aus den Baum an, führt die Sichtlinie durch oder über den vorderen Biao. Für die Bestimmung der Entfernung reicht das natürlich noch nicht, dafür misst man nun, dass der Baum vom hinteren rechten Biao aus anvisiert, drei Zoll neben dem vorderen rechten Biao liegt. Ich hab das mal gezeichnet.“

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„Kann man gar nicht gut erkennen, sorry. Drei Zoll sind einfach zu klein angesichts der Ferne des Baums.“ „Wie weit ist er denn entfernt?“, interessiert Zhu. „Also wenn d die Entfernung des Baums vom vorderen linken Eckpunkt des Quadrats ist, dann verhält sich nach dem Strahlensatz d zu d + 100 wie 100 – 3 zu 100. Ein Zhang sind ja zehn Fuß und ein Fuß zehn Zoll. Ich rechne also in Zoll. Umgeformt ist das 100*d = (100 – 3)*(d + 100) = 97*(d + 100). Wir wollen d freistellen: 100*d = 97*d + 100*97 oder 3*d = 100*97 und damit d = 100*97/3. Kann ich mit 100 statt 97 rechnen?“ „Ja, wir wissen ja nicht, von welcher Quadratecke aus die Entfernung des Baums bestimmt werden soll. Du hast wahllos eine Ecke ergriffen, ich würde das Zentrum des Quadrats nehmen. Dann wäre nach dem Strahlensatz (d – 50)/(d + 50) = 97/100. Weiter ist das: 100*d – 5000 = 97*d + 4850. Das gibt 3*d = 9850 oder d = 9850/3. Auch keine 10.000, hm.“ „Aber du bist nur noch halb so weit von ihr entfernt wie ich!“, freut sich Sanjiao. „Also nehmen wir die hintere rechte Ecke?“, fragt Zhao. Sanjiao: „Dann sagt der Strahlensatz, dass (d – 100)/d = 97/100. Das macht 100*d – 10000 = 97*d. Das ist es: d = 10000/3. In den Neun Kapiteln steht nämlich als Lösung 三十三丈三尺三寸、少半寸 33 Zhang, drei Fuß, drei Zoll und weniger als einen halben Zoll.“ „Lass uns mal die anderen Ecke durchrechnen!“, will Zhu’s wissen. Sanjiao erfährt von seinem Handy, dass 9850 durch 3283 1/3 sind und 9700 durch 3 3233 1/3. „Zu weit daneben!“

„Wir haben nicht mehr viel Zeit.“ Zhao ist ungeduldig. „Können wir die beiden letzten Aufgaben etwas schneller abhandeln?“ Sanjiao beeilt sich:

„Die dreiundzwanzigste fragt nach der Höhe eines Bergs. 53 Meilen östlich von ihm steht ein Baum, der neun Fuß und fünf Zoll groß ist und drei Meilen östlich von dem der Beobachter, der sieben Fuß groß ist. Er sieht die Bergspitze auf gleicher Höhe wie den Baumgipfel.“

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„Den Berg hast du aber nicht schön gemalt. So westlich.“, rügt Zhao seinen Enkel. „Kann man sehen, dass die Spitze rechts offen ist?“ „Wenn man es vergrößert, ja. Es ist schwierig zu zeichnen, das sehen wir ein. Ist ein Mensch vor einem Berg doch klein wie eine Maus.“ „Obwohl der alte Narr in der Geschichte 愚公移山 ja angefangen hat einen abzutragen. Und über Generationen von Enkeln und Urenkeln es vielleicht auch geschafft hat, das erfahren wir nicht. Nur seine Zuversicht ist uns überliefert: “虽我之死,有子存焉;子又生孙,孙又生子;子又有子,子又有孙;子子孙孙无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”.“ „Wir erfahren es schon“, korrigiert Zhu Zhao. „Das Liezi schließt nämlich damit, dass ein Lokalgeist beunruhigt ist, dass der alte Mann und seine Nachkommen es schaffen werden, die Natur in seinem Gebiet so sehr umzugestalten. Er eilt zum Himmelskönig sich zu beschweren. Der aber ist gerührt von der Zuversicht und Beharrlichkeit des Alten, sich so eine Sisyphusaufgabe aufzuladen, und befiehlt zwei starken Göttern, den Berg fortzutragen.“ Sanjiao hat fasziniert gelauscht. Kinder lieben ja Geschichten.

„Bitte rechnet etwas schneller.“, bittet der Maler. „Also gut. Interessant ist hier, dass wir für die eine Kathete Maße der Entfernung haben, für die andere Maße der Länge. Oder weiß einer von euch, wie man Meile (里 lǐ) und Schritt (步 bù) in Zhang (丈 zhàng), Fuß (尺 chǐ) und Zoll (寸 cùn) umrechnet?“, sagt Zhu. Die anderen schütteln die Köpfe. „Macht das denn was, Sanjiao?“ „Eigentlich stört das nicht, denn wir rechnen nicht mit Pythagoras, sondern mit dem Strahlensatz. Da sagen wir halt, soundsoviel Meilen verhalten sich zu soundsoviel Fuß, und auf der anderen Seite der Gleichung genauso.“ „Anders ausgedrückt, kürzt sich der Umrechnungsfaktor von Meilen in Fuß einfach heraus.“, bringt Zhu es auf den Punkt. „Also los dann, Sanjiao!“

„Also die Spitze des Dreiecks liegt noch etwas weiter rechts, sagen wir x Meilen mit einem ziemlich kleinen x. Dann sagt der Strahlensatz, dass h/(53 + 3 + x) = 95/(3 + x) = 7/x ist. Aus der rechten Gleichung kriegen wir raus, dass x = 21/88 ist. Setzen wir das in die linke, oder besser die äußere Gleichung ein, haben wir: h/(56 + 21/88) = 7*88/21 = 88/3. Damit ist h = 88*(56 + 21/88)/3. Die 56 mit 88 erweitern gibt 56*88/88, das sind 4928 im Zähler, dazu die 21 macht 4949. Der Nenner hebt sich mit der 88 vorn auf und wir kriegen h = 4949/3 raus. Das sind 1649 komma Periode 6.“ „Welche Einheit?“, fragt Zhu. „Ähh, Fuß.“ „Und was steht als Lösung in den Neun Kapiteln?“, will Zhao wissen. „一百六十四丈九尺六寸、太半寸 164 Zhang, 9 Fuß, 6 Zoll und über einen halben Zoll.“ „Perfekt! Jetzt schnell zur letzten!“

„Auf dem Rand eines Brunnens, der fünf Fuß im Durchmesser ist, wächst ein Baum, der auch fünf Fuß groß ist. Zielt man vom Gipfels des Baums mit dem Blick auf die Stelle, wo das Brunnenwasser ans Ufer stößt, schneidet der Blick vier Zoll vom Brunnendurchmesser ab. Wie tief ist der Brunnen?“
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„Oje, noch so ein Brummer!“, Zhao. „Wieder sind die Maßverhältnisse so extrem.“, entschuldigt sich sein Enkel. „Rechnet schnell! Ich will kochen.“ Zhu übernimmt es: „Die vier Zoll verhalten sich zur Höhe des Baums wie der Brunnendurchmesser zu seiner Tiefe plus der Höhe des Baums. Das gibt die Gleichung: 4/50 = 50/(t + 50), wenn wir in Zoll rechnen. 4*(t + 50) = 50^2. 4*t = 50^2 – 4*50 = 46*50. t = 46*50/4 = 23*25. 25 zum Quadrat weiß ich auswendig, das sind 625. Daher können wir rechnen: 23*25 = (25 – 2)*25 = 25^2 – 2*25 = 625 – 50 = 575 Zoll.“ Sanjiao: „So steht’s auch in den Neun Kapiteln drin: Fünf Zhang, sieben Fuß und fünf Zoll.“

„Damit sind wir durch, oder?“, fragt Zhao. „Schönes Referat!“, sagt Zhu, „nur vielleicht etwas zu lang.“

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