Dreiecksreferat (Nachtrag)

Die offene neunte Aufgabe lässt Zhu keine Ruh. Zuhause sucht er seine alten Unterlagen. Er findet seine Dissertation, findet auch das Problem 9.9 und ihm wird klar, dass 鐻 jù kein Trommelstab ist, sondern eine ebenfalls jù ausgesprochene Säge 鋸 meinte, die einen Baumstamm bis zu einer Tiefe t von 1 Zoll einsägt. Warum der Baumstamm in eine Wand eingelassen ist, versteht er nicht ohne weiteres. Doch vielleicht ist die Wand eine Mauer wie eine Festungsmauer und der Baumstamm ragt zu einem Verteidungszweck heraus. Dann wär’s zwar wenig sinnig ihn einzusägen, um seinen Durchmesser zu erfahren, aber sei’s drum, im Dienste der Mathematik!

Der Weg der Säge (鐻道) l meint nun nicht den wirklich zurückgelegten Weg des Sägeblatts – dann müsste man dreidimensional rechnen und wissen, wieviel abgeraspelt wird pro Zentimeter Sägebewegung -, sondern meint einfach nur die doppelte andere Kathete, wenn der Rest des Radius ohne die Tiefe die eine ist. Der gesuchte Durchmesser 2*r ist dann die doppelte Hypotenuse und die Rechnung geht mit dem Satz des Pythagoras:

gougu_12_9

r^2 = (r – t)^2 + (l/2)^2
r^2 = r^2 – 2*r*t + t^2 + (l/2)^2
2*r*t = t^2 + (l/2)^2
2*r = (l/2)^2/t + t

Das ist genau die Rechenvorschrift, die die Neun Kapitel angeben:

半鐻道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

Zufrieden reibt sich Zhu die Hände, gleich morgen will zu Zhao gehen und es mit den beiden teilen.

*

Den nächsten Morgen besucht Zhu Zhao und Sanjiao wieder und bringt ihnen die frohe Botschaft. Der Knabe hat nur einen Einwand: „Warum in 3-D?“ Zhu denkt nach, aber Sanjiao hat schon losgelegt: „Sagen wir, pro Zoll Sägeweg raspelt die Säge einen Fünftel Zoll tief weg. Das ist eine Fläche von einem Fünftel Quadratzoll. Die Fläche, die in Ihrer Skizze, Herr Mathematiker Zhu, abgeraspelt worden ist, ist ein Kreissegment. Von seinem Zentralwinkel Alpha wissen wir, dass sin(alpha) l/2/r ist. Mit den Zahlen eingesetzt ist sin(alpha) = 10/2/13 = 10/26. Und mit der Umkehrfunktion Arcussinus errechnet sich Alpha daraus als“ – er tut es mit seinem Handy – „22,6°.“

Der Maler schaut auf Zhus Skizze: „Der Winkel scheint mir aber größer als 22° zu sein. Er scheint mir fast 45° groß zu sein, denn doppelt ist es ja fast ein rechter.“

Sanjiao betrachtet die Zeichnung aufmerksam: „Oh, du hast die Realität zurechtgebogen, Onkel Zhu! t ist niemals nur ein Dreizehntel von r in deiner Skizze!“ Zhu gibt das zu: „Ich musste es deutlicher machen. Aber das Prinzip bleibt dasselbe, auch wenn es in meiner Skizze etwas andere Zahlenwerte sind.“ Sanjiao ist ein bisschen empört, denn er hatte bei seinen Referatsillustrationen große Mühe mit den grafisch ungünstigen Maßverhältnissen gehabt. Aber er fährt fort:

„Also hat der vom Sägen unberührt gebliebene Kreissektor einen Zentralwinkel von 360 – 2*22,6, das sind 314,8 Grad. Ein Vollkreis hat die Fläche Pi mal Radius zum Quadrat. Der Radius ist hier bei uns 13 Zoll, also hat der ungesägte Baumstamm eine Querschnittsfläche von 531 Quadratzoll. Der Kreissektor hat dann nach dem Dreisatz nur das 314,8/360-stel davon, das sind 464 Quadratzoll. Dazu muss man das Dreieck rechnen, das die Fläche l/2*(r – t) hat, das sind 5*12 = 60 Quadratzoll. Zusammen 524 Quadratzoll. Somit wissen wir nun, dass das Kreissegment 531 – 524 = 7 Quadratzoll groß ist. Sieben Quadratzoll sind also weggesägt worden. Ich natte geschätzt, dass ein Sägeweg von einem Zoll ein fünftel Quadratzoll wegsägt. Dann beträgt der Sägeweg, um 7 Quadratzoll wegzusägen, demnach 5*7 = 35 Zoll.“

„Keine schlechte Rechnung“, erkennt Zhu an. „Dafür würde ich dir eine 1 geben.“ Sanjiao ist entsetzt. „In 德国 Almanya ist 1 die allerbeste Note, nicht so schlecht wie bei uns, wo 100 die beste Punktzahl ist.“, lacht Zhu. „Wie unvernünftig!“, meint Zhao.

Schreibe einen Kommentar

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s


%d Bloggern gefällt das: