Flächenfrage

flaechenfrage

Welche Fläche ist größer, die rosa oder die blaue?


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Es genügt eine der spiegelsymmetrischen Hälften zu betrachten. Die Fläche A = A1 + A2 + A3 ist blau, die Flächen B und C rosa.

Das rechtwinklige Dreieck A1 hat die Katheten r*sin(α) und r*cos(α). Seine Fläche ist r^2*sin(α)*cos(α)/2. A2 ist genauso groß, daher sind A1 + A2 = r^2*sin(α)*cos(α). Wie groß also sind die Sinus-/Kosinusse? Gucken wir das große rechtwinklige Dreieck an, ist die Gegenkathete zu α r und die Ankathete 2*r. Die Hypotenuse ist nach Pythagoras daher Wurzel(r^2 + (2*r)^2)) = r*Wurzel(5). Somit sind sin(α) = 1/Wurzel(5) und cos(α) = 2/Wurzel(5), und damit sin(α)*cos(α) = 2/5. Ergo ist A1 + A2 = r^2*2/5.

Der Kreissektor A3 berechnet sich als (β/π)*(π/2)*r^2 = (β/2)*r^2. Wie groß ist β? Aus dem Innenwinkelsatz erhalten wir, dass α + γ = π/2 ist, d.i. γ = π/2 – α. Außerdem sehen wir, dass π = 2*γ + β. Für γ eingesetzt: π = 2*(π/2 – α) + β = π – 2*α + β. Daraus folgt β = 2*α. Weil im großen rechtwinkligen Dreieck α = arctan(r/(2*r)) = arctan(1/2), ist β = 2*arctan(1/2).

Weiter ist A + B der Halbkreis, daher B = r^2*π/2 – A, und C die große Dreiecksfläche minus A, das ist C = r*2*r/2 – A = r^2 – A. Damit haben wir drei Gleichungen für A, B und C:

A = A1 + A2 + A3 = r^2*(2/5 + arctan(1/2))
B = r^2*(π/2 – 2/5 – arctan(1/2))
C = r^2*(1 – 2/5 – arctan(1/2)) = r^2*(3/5 – arctan(1/2))

Herauskriegen wollen wir, ob die rosa Fläche, das ist B + C, oder die blaue, das ist A, größer ist. Lassen wir das Ungleichheitszeichen < oder > vorerst offen und schreiben es als platzhaltenden Kreis ∘, dann können wir die Ungleichung umformen:

B + C ∘ A
π/2 – 2/5 – arctan(1/2) + 3/5 – arctan(1/2) ∘ 2/5 + arctan(1/2)
π/2 – 1/5 ∘ 3*arctan(1/2)

Nun müssen wir zu Excel oder einem Klon greifen, der uns ausrechnet:

1,371 ∘ 1,391

Der Platzhalter ∘ ist somit durch ein < zu ersetzen, das sich nach oben durchreichen lässt, weil wir nirgends mit einer negativen Zahl multipliziert haben (das Quadrat des Radius ist positiv):

B + C < A

Die blaue Fläche ist etwas größer als die rosa. Nochmal die Flächen mit π = 3,1416 und arctan(1/2) = 0,4636 genau ausgerechnet, finden wir dass:

B + C = r^2*(π/2 + 1/5 – 2*arctan(1/2) = r^2*0,8435
A = r^2*0,8636

Somit ist A weniger als 2,5 Prozent größer als B + C.

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Im Büro hab ich nur mit Word arbeiten können, und weil nicht gewusst, wie nur Teilflächen einzufärben, nur die Konturen ausgedruckt und dann mit Filzstift ausgemalt. Das Blatt um die Eingangsfrage ergänzt und offen hingelegt, falls sich jemand in müßiger Minute damit befassen möchte. Mancher tat’s, aber keiner rechnete. Ein Kollege riet es richtig, bei einer Chance von Fifty-fifty kann das passieren. Ein anderer schloss es falsch, im Geiste schob er die Flächen woanders hin und ihm kam Rosa größer vor. Einem kam das blaue Segment genauso groß vor wie die rosanen, was ich mit einem Lineal widerlegen konnte. Der Kollege, der Maschinenbau studiert hat, schlug ein Überziehen der gesamten Fläche mit einem quadratischen Raster vor und Auszählen der rosa und blauen Kästchen. Ein praktisches Herangehen, dessen Ergebnis ich gern beobachtet hätte, aber er wollte es nur ankündigen, nicht durchführen, auch als ich ihm die Fläche mit einem zugegeben erst mal recht groben Raster überzogen vorlegte. Als andere praktische Lösung fiel mir noch ein, die Konturen auf ein schweres ebenes Material auszudrucken wie Karton einer Grammatur > 250 g oder eine Holz- oder Metallplatte. Dann Ausschneiden oder -sägen und die Teile auf eine Waage legen. Aber auch das wurde nicht getan, die Leute theoretisierten lieber, niemand prüfte es praktisch, aber auch keiner rechnete es geometrisch, nicht einmal der Mathematiker wollte sich der Mühe unterziehen. Ihm führte ich die Berechnung gestern kurz vor Feierabend dann schnell mal vor, ähnlich wie oben. Es ist eigentlich Stoff der Mittelstufe Gymnasium, also nicht soo kompliziert, keine Raketentechnik. Nur der Arkustangens kommt aus der Uni, aber den kannte der studierte Mathematiker natürlich und wusste um seine zwei Zweige. Seinem Einwand diesbezüglich konnte ich mit Physikerherangehen begegnen, indem ich α optisch mit 30° abschätzte und entschied: Nehmen wir jenen arctan(1/2), der nahe 30° ist. Und wirklich gab Excel ihn ohne weiteres, mal 180 durch π, als 26,6° heraus. Nachdem ich es ihm gestern vorgerechnet, etwas zu schnell, er bremste mich immer wieder: „Moment, das sehe ich noch nicht!“, sehe ich ein, dass die Aufgabe etwas zu fordernd war.

An einer erfolgreichen Lösung per Optik zweifle ich. Der Unterschied beider Flächen von weniger als 2,5 Prozent ist etwas zu klein. Bei 5 bis 10 Prozent würde ich glauben, dass gute Augen Flächen verschiedener Kontur in die richtige Relation setzen können. Wer das könnte, könnte ja bei Wetten dass..? einreichen: Ich wette, dass ich von fünf paarweisen Flächen beliebiger Kontur, die sich in ihrer Größe mindestens um fünf Prozent unterscheiden, bei vieren die richtige Relation (größer oder kleiner) erkenne.

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