Vulkane

Sanjiao kommt von der Schule heim. Mathematiker Zhu, der bei Maler Zhao gerade Tee trinkt, fragt: „Na, Sanjiao? Was gibt es Neues in der Schule?“ „Wir haben eine Hausaufgabe auf mit Vulkanen wie im Land des Halbdrachens Nepomuk.“ „Das ist Jemmy Button, 是不是?“ „Ja, von 终卖可。“

„Einen Vulkan würde ich ungefähr so zeichnen.“, sagt Zhao:

vulkan

„Sieht ungefähr wie 1/x aus.“, meint Zhu. „Und was ist nun die Aufgabe?“ „Unser Gastlehrer, Major Zhang von der Volksbefreiungsarmee, sagt, es gibt drei Vulkane beieinander. Er fragt, wenn wir an einem Punkt auf der Flanke eines der drei Vulkane losgehen und immer auf derselben Höhe über dem Meeresspiegel bleiben, welche Gestalt hat dann unser Rundweg?“

„Ein Kreis wohl.“, tippt Zhao. „Der Rundweg soll aber um alle drei Krater herumführen.“ Zhu: „Dann ist der Startpunkt nicht mehr beliebig. Denn wenn wir auf einem Kratergrat losgehen, dann gehen wir auf dem einfach einmal rum, und das ist dann einfach ein Kreis, mehr oder weniger.“ „Jedenfalls soll der Rundweg um alle drei Krater führen und es ist eine Multiple-Choice-Aufgabe mit diesen Antwortmöglichkeiten:“

vulkane_auswahl

„Da ist ja der Kreis!“, ruft Zhao. „Und was denkst du, Sanjiao?“, fragt Zhu. „Keine Ahnung. Kann man das ausrechnen, Onkel Zhu?“

Zhu versucht was aus dem Ärmel (nicht dem Herrn😉 ) zu schütteln. „Setzen wir die Flanke mal mit h(r) = 1/(a*r + b) an mit r dem Abstand vom Kratermittelpunkt. Der Krater habe den Radius r0 und der Kraterrand die Höhe h0 = h(r0). Daraus ergibt sich h0 = 1/(a*r0 + b) oder b = 1/h0 – a*r0. Die Steigung ist die Ableitung nach r: h'(r) = -a/(a*r + b)^2. Am Kraterrand fällt die Flanke ab mit h'(r0) = -a/(a*r0 + b)^2 und für b eingesetzt: h'(r0) = -a/(a*r0 + 1/h0 – a*r0)^2 = -a*h0^2. Damit ergeben sich aus den Randbedingungen r0, h0 und h'(r0) die Parameter als a = -h'(r0)/h0^2 und b = 1/h0 + h'(r0)*r0/h0^2.“ Sanjiao: „Uff.“ Zhao geht in die Küche, um neuen Tee aufzusetzen.

„Jetzt ist an jeden Punkt Magma von drei Vulkanen geflossen. Addieren wir diese Beiträge, dann müssen wir die Abstände des Punktes von den drei Kratern verwenden, also verschiedene r. Ein Abstand ist die Quadratwurzel aus der Summe der kartesischen Koordinatendifferenzen. Hat der Lehrer euch die Koordinaten der Vulkane gegeben?“ „Ja, Major Zhang sagt, der erste liegt bei (300, 200) und ist 100 hoch, der zweite bei (150, 500) und ist 80 hoch und der dritte bei (600, 400) und ist 70 hoch.“ „Dann fehlen uns noch die Randbedingungen.“ „Major Zhang sagt, die Kraterdurchmesser sind alle 20 und am Kraterrand fallen die Flanken alle mit der Steigung -1 ab.“ „Hm. Was wir bräuchten, wäre eine Funktion y(x) oder, weil es ein Rundweg ist, eine parametrisierte Kurve (x(t), y(t)) mit der Eigenschaft, dass h(t) konstant ist. Weil r in den Nennern steht und x und y dann noch als Quadrate unter Wurzeln, ist das nicht so einfach.“

Sanjiao: „Ich hab eine Idee.“ Er hockt sich vor den Laptop, während Zhao Zhu eine Tasse einschenkt. „Diese modernen Sachen sind mir ja fremd, Freund Zhao. Aber wenn er was rauskriegt, wo ich mit meinem Latein am Ende bin, warum nicht?“ „Ich mit meinem 拉丁 bin schon lange am Ende, fast von Anfang an schon, mein lieber Zhu.“ Er kichert. „Aber interessiert, was rauskommt, bin ich schon. Kennst du übrigens den Vulkan Fuji von Hokusai?“ „In 日本, stimmt’s? Dem Land der aufgehenen Sonne.“ „Genau. Er hat Flanken, also bei Hokusai mehr als in der Wirklichkeit, die so ziemlich eine mathematische Gestalt haben.“

Sanjiao dreht den Schirm seines Laptops zu den Senioren. „Hier, das kommt raus.“

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Zhu: „Ahaaa? Interessant.“ „Sind das Weiße die Krater?“, fragt der Maler. „Nicht genau, die Krater sind ja alle gleich groß. Das Weiße bedeutet, dass da die Höhe über dem Meeresspiegel einen bestimmten Wert überschreitet. Der Rand der weißen Fläche, bevor es ins Graue rutscht, wäre also der Rundweg in dieser bestimmten Höhe.“ „Aber hier sind es drei Rundwege, nicht einer um alle drei Krater herum.“ „Wartet, ich schiebe am Regler.“

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„Hervorragend!“, ruft Zhu. „Das sieht ungefähr aus wie Antwort C.“ „Aber kann man die Magma der drei denn einfach addieren, Onkel Zhu? Sie brechen doch nacheinander aus und wenn der zweite ausbricht, dann fließt seine Magma doch eher nicht den Kegel des ersten hinan, sondern doch auch wieder in Kegelform heraus wegen der Gravitation und der Viskosität, nur angeschnitten vom ersten Kegel.“ Zhu streicht sich das Kinn: „Da muss ich dir recht geben, Sanjiao.“ „Guckt, ich hab das auch mal geplottet.“ Er legt einen Schalter um und drückt F5:

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Zhao: „Sieht ja strange aus. Wie Studioscheinwerfer.“ Zhu fragt: „Und wie hast du das jetzt gerechnet?“ Sanjiao: „Statt alle Höhenbeiträge zu addieren, wähle ich den aus, der maximal ist, und verwerfe die anderen.“ Zhu überlegt: „Hier wäre ein Rundweg um die drei Krater der Umriss dreier sich überlappender perfekter Kreise.“ „Das kommt in den Antwortmöglichkeiten aber nicht vor!“ „Stimmt. Die Option A ist anders, da überkreuzt sich der Rundweg, das kann ja nicht sein.“ „Vielleicht hat Major Zhang auch so gerechnet wie du, Onkel Zhu!“ „Höchstwahrscheinlich. Also nimm Option C, würde ich sagen, Sanjiao!“

Maler Zhao gießt nach. „Können so was eigentlich viele in deiner Klasse, Enkel?“

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