Formel Y

Weil die Konstrukteurswertung im letzten Jahr zwischen Audi und BMW unentschieden ausgegangen ist, beschließt der Deutsche Rennsportverband ein Stechen, das sich über eine ganze Saison erstrecken soll. Dafür werden sieben Motodrome angelegt in Aachen, Berlin, Celle, Darmstadt, Essen, Frankfurt und Gießen. Die Städte werden auf die Deutsche Industrie-Norm F-Y-I verpflichtet, die besagt, dass der Parcours quadratisch mit einbeschriebenem Kreis ist und folgende Wegstücke nur möglich sind:

zwei_wege_0

Außerdem verlangt der Deutsche Rennsportverband, dass Audi und BMW komplett verschiedene Wege fahren, damit keine Verzerrung stattfindet, wenn etwa ein Wagen den anderen beim Überholen aufhält.

Unter diesen Bedingungen richten die sieben Städte solche Rundkurse für Team Rot und Team Blau ein:

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Nun wirft der Deutsche Rennsportverband eine Münze und Audi darf die Farbe für die ganze Saison wählen. Welche Farbe werden Audis Konstrukteure wählen, Rot oder Blau?

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Achtung: Nach 64 Achten erfolgt eine Lösung
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formel_y_streckenabschnitte

Die Längen aller Kurse lassen sich über diese vier Streckenabschnitte ermitteln. Wenn der grüne 1 lang ist, dann ist nach Pythagoras der olive Wurzel(5)/2 ~= 1,12 lang, der orange Wurzel(2) ~= 1,41 und der pinke π/2 ~= 1,57. Einsetzen müssen wir aber erst später, erst mal separat aufsummieren für beide Teams und dann voneinander subtrahieren:

zwei_wege

Team Rot    grün    oliv    orange    pink
Aachen 2 0 0 3
Berlin 0 0 0 4
Celle 4 0 1 0
Darmstadt 4 0 2 0
Essen 2 0 2 0
Frankfurt 6 0 0 0
Gießen 5 2 0 0
Gesamt 23 2 5 7

Team Blau    grün    oliv    orange    pink
Aachen 2 4 0 0
Berlin 2 4 0 0
Celle 0 0 0 4
Darmstadt 2 0 0 3
Essen 2 0 0 2
Frankfurt 0 0 1 3
Gießen 0 0 0 4
Gesamt 8 8 1 16

Blau hat fünfzehn grüne Streckenabschnitte weniger, sechs olive mehr, vier orange weniger und neun pinke mehr als Rot. Das macht eine Differenz von -15*1 + 6*1,12 – 4*1,41 + 9*1,57 = 0,19. Da die Gesamtstrecke für Rot 23*1 + 2*1,12 + 5*1,41 + 7*1,57 = 43,30 ist, ist die Gesamtstrecke für Blau 0,19/43,30 ~= 0,4 %, das ist nur ein Zweihundertstel, länger.

Allein der Länge nach könnte das Audi-Team Rot wählen. Aber die Konstrukteure wissen, wie Kurven ausbremsen. Sie vergleichen die Kurse dahingehend und stellen fest, dass Rot fast doppelt so viele bzw. starke Knicke zu fahren hat wie Blau. Der Bolide bremst vor einem Knick, durchfährt ihn in einer Kurve mit dem Radius r = b/(1 – sin((π – α)/2)) optimalerweise, wenn b die Fahrbahnbreite ist und α der Winkel der Abweichung von der Geraden, und beschleunigt wieder auf Geradengeschwindigkeit. Man nehme die Zeit vom Einleiten des Abbremsens bis zum Ausgang der Wiederbeschleunigung, vergleiche den gefahrenen Weg mit einem in derselben Zeit gefahrenen geraden und erhält in der Differenz die gefühlte Streckenverlängerung durch die Kurve. Es wird deutlich mehr ausmachen als ein halbes Prozent und das Audi-Team doch Blau wählen.

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