Marshmallows

Der Vater bringt Albert und Berta acht Marshmallows mit. „Die sind für euch. Teilt sie gerecht auf. Jedes bekommt vier Stück.“ „Aber die sind doch verschieden groß.“, schreit Berta auf.

Die Marshmallows liegen auf dem Tisch und sehen von vorn und oben so aus:

marshmallows

Ist es möglich, dass beide Kinder gleich viele Marshmallows und zugleich gleich viel Marshmallow bekommen?

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Die Marshmallows sind Zylinder. Zylinder haben ein Volumen von Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis, welcher die Fläche π*r^2 hat. Hier rechnen wir aber lieber mit dem Durchmesser d = 2*r, weil der sich in ganzen Kästchen abzählen lässt. Das Volumen eines Marshmallows ist somit V = π*(d/2)^2*h = (π/4)*d^2*h. Der Faktor π/4 lässt sich bei der Summenbildung ausklammern, weshalb es genügt, mit diesen ganzzahligen V*4/π zu rechnen:

Farbe    h    d    d^2    V*4/π
gelb 8 1 1 8
pink 7 2 4 28
dunkelgrün 6 3 9 54
hellgrün 5 4 16 80
rot 4 5 25 100
dunkelblau 3 6 36 108
hellblau 2 7 49 98
braun 1 8 64 64

Alle Volumina zusammen sind 8 + 28 + 54 + 80 + 100 + 108 + 98 + 64 = 540. Davon die Hälfte ist 270. Wir müssen also nun suchen, welche vier Marshmallows kombiniert ein Volumen von 270 haben.

Wieviele Möglichkeiten gibt es denn, vier aus acht auszuwählen? (8 über 4) = 8!/(4!*(8 – 4)!) = 8!/(4!*4!) = (8*7*6*5)/(4*3*2*1) = (8/4)*7*(6/(3*2))*5 = 2*7*1*5 = 70. Die habe ich alle ausprobiert (resp. -en lassen) und vier Lösungen erhalten.

Der mathematische Kollege hat eine Abkürzung gefunden. Die Marshmallowvolumina enden lediglich auf die Ziffern 0, 4 und 8, und zwar zwei auf 0, zwei auf 4 und vier auf 8. Mit vier von ihnen in summa auf die Endziffer 0 zu kommen, gelingt nur, kombiniert man zwei Achten, eine Vier und eine Null. (Eine Acht und drei Vieren ginge auch, aber es stehen nur zwei Vieren zur Verfügung.). Also probieren wir die (4 über 2) = 4!/(2!*2!) = 4*3/2 = 6 Möglichkeiten aus, aus vier Achtervolumina zwei auszuwählen, und danach eins von zwei Vierervolumina und eins von zwei Nullervolumina, das sind nochmal vier Möglichkeiten => Es genügt, 6*4 = 24 Kombinationen zu probieren.

Weil eine Lösung immer auch eine Spiegellösung zur Folge hat – nämlich, haben die vier ausgewählten Marshmallows zusammen das Volumen 270, haben die vier übrig gebliebenen dieses auch -, braucht man nur noch die Hälfte dieser 24 Kombinationen zu berechnen, beispielsweise diejenigen, die das gelbe Marshmallow enthalten:

8 + 28 + 54 + 80 = 180
8 + 28 + 54 + 100 = 200
8 + 28 + 64 + 80 = 190
8 + 28 + 64 + 100 = 210
8 + 108 + 54 + 80 = 250
8 + 108 + 54 + 100 = 270
8 + 108 + 64 + 80 = 260
8 + 108 + 64 + 100 = 280
8 + 98 + 54 + 80 = 240
8 + 98 + 54 + 100 = 260
8 + 98 + 64 + 80 = 250
8 + 98 + 64 + 100 = 270

Die beiden gefundenen Lösungen bedeuten, dass die acht Marshmallows sich gerecht sowohl nach Anzahl als auch nach Masse aufteilen lassen, nämlich indem entweder das eine Kind das gelbe, das dunkelgrüne, das rote und das dunkelblaue Marshmallow bekommt und das andere das pinke, das hellgrüne, das hellblaue und das braune:

marshmallows_loesung_11marshmallows_loesung_12

Oder das eine Kind bekommt das gelbe, das rote, das hellblaue und das braune Marshmallow und das andere das pinke, das dunkelgrüne, das hellgrüne und das dunkelblaue:

marshmallows_loesung_21marshmallows_loesung_22

Bevor Albert und Berta aber so viel rechnen, haben sie die Marshmallows schon weggefuttert, hatte der Mathematiker erst gemeint, ehe er sich ans Rechnen machte.

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