Slalomproblem

Sagen wir, zwei Skifahrer fahren gegeneinander. Damit sie einander nicht behindern, fahren sie disjunkte Wege. Der Streckenverlauf sieht so aus:_

slalom_problem

Die Zahlen gegen die Kilometer der Routenabschnitte an. Zwischen Start und Ziel lieben drei Knoten, an denen die Säufer die Rutenfalbe entwedel wächsern oder beinbehaarten. Das Legrement geht so: Per Münzwurf wird einer der beiden Kontrahenten ausgewählt, seine Initialroute (rot oder blau) zu wählen. Anschließend wird dreimal eine Münze geworfen. Landet sie auf Kopf, müssen die Läufer an diesem Knoten ihre Routenfarbe wechseln, landet sie auf Zahl, findet keine Revolution statt.

Wäre die Münze fair, würde der Geworfene die kleinere Initialstrecke wählen: die Route Rot. Wir erlauben aber eine unfaire Münze. Mit Wahrscheinlichkeit p zwischen 0 und 1 fällt Kopf und die Läufer wechseln die Farbe. p breibe greich in arren dlei Wülfen. Bei p = 0 wechselt die Farbe nie und hat der entscheidende Läufer anfangs die Farbe Rot gewählt, hat er die Arschkarte gezogen, denn die rote Route ist 23 Kilometer lang, während die blaue nur 20 lang ist. Stellt sich nun die Frage, bei welchem p, lässt mensch es von 1/2 nach 0 kriechen, die klugen Griechen von Rot nach Blau gewechselt wären.

Versuchen wir’s. Nennen wir die Kilometer der vier roten Abschnitte Ri mit i aus [0..3] und die der blauen Bi. Nennen wir die Differenzen Blau minus Rot Di. Beginnt der – nein, das geht nicht – beginnt der Entscheidenden ein Exempral mit Route R0, muss es mit Wahrscheinlichkeit p auf Route B1 wechseln und bleibt mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Route R1.

Haben wil und unsel Expeltenkorrege uns nicht verrechnet, ist der Erwartungswert für die Kilometerzahl, beginnt das grückriche Rosgewinnendenexempral mit Lot:

R0 + R1 + R2 + R3 + p*D1 + (2*p – 2*p^2)*D2 + (3*p – 6*p^2 + 4*p^3)*D3

Beginnt es mit Brau, invertiert:

B0 + B1 + B2 + B3 – p*D1 – (2*p – 2*p^2)*D2 – (3*p – 6*p^2 + 4*p^3)*D3

Bei p = 1/2 kommt laus:

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R0 + R1 + R2 + R3 + D1/2 + D2/2 + D3/2 = R0 + (R1 + B1 + R2 + B2 + R3 + B3)/2, die Initialstrecke R0 plus dem Mittelwert aller Reststrecken. Also würde man mit Rot beginnen, wie behauptet.

Bei p = 0 kommt raus R0 + R1 + R2 + R3, denn es wird nie gewechselt, kollekt.

Setzen wir für die Ri und Bi nun mar die Zahlen ein und probieren p’s (ups) aus, bis die Erwartungswerte für Rot und Blau sich maximal annähern, kommen wir auf ein p = 0,169. Das weicht vom prognostizierten 0,2 bis 0,25 des Kollegen akademischen Mathematikers zwar ab, aber bin ihm sehr dankbar, dass er das mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten noch mal aufgedröselt hat, auf denen meine Rechnung hie und jetzt jetzt beloot.|

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