Schlangenlinien

schlangenlinien

Pia Tora Grass fährt mit dem Fahrrad gern Schlangenlinien. Ihr Wendekreisradius dabei ist r. Sie nutzt die Breite b des Radwegs voll aus und tangiert abwechselnd seinen linken und rechten Rand.

a) Bei welchem Verhältnis von Wendekreisradius zu Radwegbreite fährt Pia vier Drittel des Wegs, als wenn sie schnurgerade fahren würde?

b) Jetzt fährt Pia ein kleineres Fahrrad, dessen Wendekreisradius nur noch ein Drittel der Radwegbreite ist. Den wievielfachen Weg des schnurgeraden schafft sie damit?

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(Achtung: Auflösung nach den Wellenlinien)

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Wenn l der gerade Weg zwischen zwei Wendepunkten ist, dann gilt nach Pythagoras r^2 = (r – b/2)^2 + (l/2)^2 = r^2 – 2*r*b + b^2/4 + l^2/4 <=> l = Wurzel(4*r*b – b^2). Mit den Abkürzungen c:= r/b ist l = 2*r*Wurzel(1/c – 1/4/c^2) und mit d:= Wurzel(1/c – 1/4/c^2) ist l = 2*d*r.

Weiter gilt für den halben Winkel des Kreisabschnitts sin(α) = l/2/r = d. Damit ist α = arcsin(d). Der Kreisabschnitt hat nun die Länge U = 2*α/2/π*2*π*r = 2*α*r und es ist U/l = 2*α*r/2/d/r = α/d = arcsin(d)/d.

Zusammengefasst besteht zwischen dem Verhältnis von Wendekreisradius und Radwegbreite r/b und Pias Weg im Vergleich mit einem schnurgeraden U/l die Beziehung:

U/l = arcsin(d)/d mit d = Wurzel(1/c – 1/4/c^2) und c = r/b.

a) Zwar gelingt es mir nicht die erste Gleichung nach d freizustellen, aber man kann Werte für d ausprobieren, bis man ungefähr ein U/l von 4/3 erhält. Ohne Newton zu benutzen, komme ich auf ein r von ca. 70,5 % von b. Das ist im Bild oben oben dargestellt.

b) Ist der Wendekreisradius kleiner als die halbe Radwegbreite, fährt Pia Schlaufen mit Rückwärtsstücken wie im Bild oben unten gezeichnet. Der halbe Winkel des Kreisabschnitts vergrößert sich auf π – arcsin(d) und aus r/b = 1/3 folgt U/l ~= 2,418.

Problematisch am Modell ist die Unstetigkeit im Lenkereinschlag. An den Wendepunkten springt er abrupt von minus soundsoviel Grad auf plus soundsoviel Grad, ohne die Null zu durchqueren. Ein wahres Herumreißen des Steuers wäre das, unrealistisch.

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