Mangram

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Aufgabe: Die elf Teile zu einem Quadrat zusammenlegen. Der Anfang ist zwingend:

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Ups, geht nicht?

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Doch, so:

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Nun kömmt der Rechenmeister (Master of Math) und frägt: Wie verhalten sich die Flächengrößen Rot : Gelb : Blau zueinander?

mangram

Ich rechne wie wild und möchte die Wurzel(2) bis zum Ende nicht auflösen. Doch das gelingt mir nicht. Erhalte als Radius des größeren Kreises 1/(2 + Wurzel(2)) und des kleineren (Wurzel(2) + 1)/(Wurzel(2) + 8 + 4/Wurzel(2)). Damit wäre die gelbe Fläche π*(r1^2 + r2^2) ~= 0,392. Die rote Fläche ist (1/2)^2 = 1/4 = 0,25. Die restliche blaue Fläche ist 1 – 0,25 – 0,392 ~= 0,358. Damit stehen die Flächen im Verhältnis von 4*0,25 : 4*0,392 : 4*0,358 = 1 : 1,57 : 1,43 zueinander.

Da stimmt was nicht. Gelb sollte größer sein als Rot, aber kleiner als Blau.

*

Noch mal versucht. Der Radius des größeren Kreises r1 bleibt 1/(2 + Wurzel(2)). Der des kleineren r2 berechnet sich mit dem Strahlensatz als r2/r1 = (1 – r1 – a)/(1 – r1) mit (r1 + r2)^2 = (r1 – r2)^2 + a^2, also a = 2*Wurzel(r1*r2). Das gibt eine quadratische Gleichung für r2 und es kommt raus 0,131. Nun ist die gelbe Fläche ca. 0,323, die rote bleibt bei 0,25 und die blaue ist der Rest 0,427. Das kommt schon eher hin.

Die Flächen stehen nun im Verhältnis 1 : 1,293 : 1,707.

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