Schiefe Pyramide

Sanjiao kommt von der Schule heim. Zu Besuch bei seinem Großvater, dem Maler Zhao, ist gerade dessen Freund, der Mathematiker Zhu. Der fragt Sanjiao: „Und? Was hast du heute in Geometrie gelernt?“ „Unser Gastlehrer, Major Zhang von der Volksbefreiungsarmee, hat diese Aufnahme verteilt.“

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„Und was ist das?“, will Zhao wissen. „Ein Aerial Shot der schiefen Pyramide von 吉萨, hat Major Zhang gesagt.“ Zhu: „Wo ist 吉萨?“ „In 埃及.“

Zhu: „Dreidimensionale Pyramiden sind schon etwas schwierig. Was solltet ihr denn machen? Das Volumen ausrechnen?“ „Nein, wir sollten es nicht als Pyramide nehmen, sondern nur als Dreiecke in der Ebene ansehen, ganz so wie auf dem Blatt, ohne dritte Dimension.“ „Kommt das nicht auf dasselbe raus?“, will Zhao wissen. „Wenn ich dieses Blatt ansehe und jede Pyramidenseite liegt mit einer Seite auf dem Erdboden und die Spitze aller vier befindet sich in derselben Höhe über dem Erdboden, ist es dann nicht egal, ob ich die wirkliche Größe der Pyramidenseiten nehme oder ihre Größe, von oben gesehen? Ändert das nicht nichts an den Verhältnissen?“ „Das könnte man meinen,“ meint Zhu, „aber fällt dir vielleicht ein Gegenbeispiel ein, Sanjiao?“ „Was für ein Gegenbeispiel?“ „Na, wo es nicht egal ist, ob man alle Pyramidenseiten von oben betrachtet oder auf jede einzelne senkrecht guckt. Bis zum Abendessen vielleicht?“ „Ok.“

Nach dem gemeinsamen Abendessen, für das Zhao Fisch aus dem Kuailiu-Bach, frittierte Bambusblätte rund „Pandatatzen“ (gedünstete Manjokknollen) zubereitete und nebenbei eine Schale grünen Tees auftischte, schaut Zhu Sanjiao mit erhobenen Augenbrauen an. Der flitzt in sein Zimmer und kehrt mit einem zugeschnittenen Papier zurück.

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„Wenn man die Figur zusammenfaltet, wird eine schiefe Pyramide draus, von der zwei Seiten senkrecht auf dem Tisch stehen. Ihre Spitze befindet sich deshalb senkrecht über einer Ecke der Grundfläche.“

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„Die Seiten sind 1, Wurzel(2) und Wurzel(3) lang. Die Höhe ist 1. Beide kleinere Dreiecke haben die Fläche 1/2, beide größere die Fläche Wurzel(2)/2. Das größere zum kleineren Dreieck verhält sich also wie Wurzel(2). Aber von oben gesehen

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haben die kleineren Dreiecke die Fläche 0, weil sie senkrecht aufragen. Die größeren haben die Fläche 1/2. Das größere verhält sich zum kleineren Dreieck wie 1/2 : 0, das ist unendlich.“ „Ein schlagendes Gegenbeispiel.“, lobt Zhu. „Du hast einen Fall gefunden, für den die Vermutung nicht zutrifft, und sie damit zur Strecke gebracht.“

Zhao sieht es ein: „Aber kippt eine so schiefe Pyramide nicht um?“ Zhu: „Nein, kein Punkt von Sanjiaos Pyramide liegt auf den Tisch projiziert außerhalb ihrer Grundfläche. Dann ihr Schwerpunkt auch nicht.“ „Gibt es denn überhaupt schiefe Pyramiden, die umkippen?“, fragt Sanjiao. „Die kann es schon geben. Der Schwerpunkt einer Pyramide teilt die Strecke vom Mittelpunkt ihrer Grundfläche zu ihrer Spitze im Verhältnis 1:3.“ Auf eine alte Leinwand des Malers skizziert er:

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„Das Grüne ist die Grundfläche. Sobald die Spitze sich im roten Bereich und darüber hinaus befindet, kippt die Pyramide um.“

Zhu setzt jetzt neu an: „Was hat Major Zhang denn eigentlich von euch wissen wollen?“ Zhao: „Stopp! Es ist spät geworden. Lasst uns morgen nachmittag das Thema wieder aufnehmen. Jetzt geht Sanjiao schlafen!“ So geschieht es.

*

Am nächsten Nachmittag, als Sanjiao aus der Schule kommt, hält Zhu ihm ein Blatt Papier mit einer Graustufenzeichnung drauf hin und fragt: „Was hat euch Major Zhang denn nun gefragt zu jener schiefen Pyramide?“

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„Er hat gefragt: ‚Wenn die Fläche 甲 das Doppelte der Fläche 丙 ist und die Fläche 乙 das Dreifache der Fläche 丁, wie verhalten sich dann die Flächen 甲 und 乙 zusammengenommen zu den Flächen 丙 und 丁 zusammengenommen?'“

„Und was hast du raus, Enkel?“, fragt Zhao. „17/7, das ist fast zweieinhalb.“ „Nicht genau zweieinhalb? Weil zweieinhalb doch genau zwischen zwei und drei liegt.“ „Das könnte man meinen“, schaltet sich Zhu ein, „aber gerechnet kommt es offenbar nicht heraus. Kannst du das für allgemeine Vielfache bis zum Abendessen vielleicht mal eruieren, Sanjiao, in welchen Fällen der genaue Mittelwert erreicht wird?“

Nach dem Abendessen, zu dem Zhao Wachteleier im Zitronengras angereichert mit Mu’erpilzen serviert und dazu ein Glas Kwas, schaut Zhu Sanjiao mit erhobenen Augenbrauen an. Der legt ungefähr so los:

„Nennen wir den späteren Hauptnenner H := 2*(m + 1)*(n + 1).
甲 + 丙 = 1/2 und 甲 = m*丙 => 甲 = m*(n + 1)/H und 丙 = (n + 1)/H
乙 + 丁 = 1/2 und 乙 = n*丁 => 乙 = (m + 1)*n/H und 丁 = (m + 1)/H
(甲 + 乙)/(丙 + 丁)
= (m*(n + 1) + (m + 1)*n)/((n + 1) + (m + 1))
= (2*m*n + m + n)/(m + n + 2)
Wenn wir verlangen, dass das gleich (m + n)/2 sein soll, können wir mit den Nennern multiplizieren:
4*m*n + 2*m + 2*n = (m + n + 2)*(m + n) = m^2 + m*n + m*n + n^2 + 2*m + 2*n
<=> 0 = m^2 – 2*m*n + n^2 = (m – n)^2
Es kommt nur dann genau auf den Mittelwert zu liegen, wenn m gleich n ist, und da ist es kein Wunder, denn wenn 甲 das m-fache von 丙 ist und 乙 das m-fache von 丁, dann ist natürlich auch 甲 + 乙 das m-fache von 丙 + 丁, weil man es ausklammern kann.“

Zhu für Zhao: „Also immer wenn die Vielfachen sich unterscheiden, liegt das gesuchte Verhältnis neben der Mitte der Vielfachen.“ „Aha.“

*

Als Sanjiao am nächsten Tag aus der Schule kommt, hat Zhu sich etwas Neues ausgedacht: „Jetzt könnte man aber auch mal anders fragen:

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Wenn sich 甲 + 乙 zu 丙 + 丁 wie 37:11 verhält und 丁 + 甲 zu 乙 + 丙 wie 29:19, wie schief ist dann die Spitze? Bis zum Abendessen?“

Als Sanjiao in sein Zimmer verschwunden ist, fragt Zhao: „Ist das nicht zu schwer für ihn?“ „Fordern ist das Motto, nicht Fördern.“ Nach dem Abendessen, zu dem Zhao gebrühte Teigtaschen mit Knoblauchspinatfüllung auftischt an scharfer Chilisoße neben Rucolasalat, dazu ein Glas Orangensaft, blickt Zhu Sanjiao mit erhobener Augenbraue an: „Na?“

Sanjiao legt los: „Von gestern noch wissen wir ja, dass 甲 = m*(n + 1)/H, 丙 = (n + 1)/H, 乙 = (m + 1)*n/H und 丁 = (m + 1)/H sind. Damit bekommen wir aus den vorausgesetzten Verhältnissen zwei Gleichungen für m und n:
(2*m*n + m + n)/(m + n + 2) = 37/11
(m*n + 2*m + 1)/(m*n + 2*n + 1) = 29/19
Nach m aufgelöst und gleichgesetzt ergibt das eine quadratische Gleichung für n:
n^2 – n – 2 = 0
Sie hat die beiden Lösungen -1 und 2, wovon die negative zu verwerfen ist, und dann ergibt sich m als 7. Also liegt die Spitze, auf die Grundfläche projiziert, bei (1/(n + 1), m/(m + 1)) = (1/3, 7/8).“

„Sehr schön“, sagt Zhu. Zhao meint: „Mich irritiert die Schattierung der Flächen. Zwei verschieden schiefe Pyramiden, aber die Schattierungen nach den Himmelsrichtungen hin scheinen jeweils gleich zu sein. Wie kann das sein?“ „Eine gute Frage, Freund Zhao. Vielleicht kann Sanjiao uns richtigere Schattierungen berechnen.“ Sanjiao schaut aufmerksam. „Habt ihr schon Vektorrechnung gehabt?“ „In der Schule noch nicht, aber ich lese gerade das Geometriebuch von Zhuo Shiliang (卓矢量).“ „Das ist gut. Also wie wollen wir über die Schattierung einer Pyramidenseite entscheiden? Sagen wir der Einfachheit halber, die Sonne stünde senkrecht über ihr. Der Pyramide, nicht der Seite.“ „Nicht in 吉萨,“ wendet Zhao ein, „vielleicht in Abu Simbel.“ „Ok, aber egal jetzt. Als Helligkeit jeder Pyramidenseite nehmen wir den Kosinus des Winkels zwischen ihrer Flächennormale und der Richtung zur Sonne, schlage ich vor.“ Beide schauen verständnislos. „Benutze Kreuz- und Skalarprodukt, Sanjiao! Willst du das mal rechnen?“ Der Knabe verzieht sich hinter seinen Laptop.

Während er tüftelt, genehmigen sich der Maler und sein Freund ein Gläschen 茅台酒. Dann wird Zhus Neugierde zu groß, sie gehen um den abweisenden Schirm herum und treten auf Sanjiaos Seite. Dort sehen sie:

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„Ist es schon fertig?“, fragt Zhu. „Ja, gerade eben.“ „Das sieht schon besser aus“, urteilt Zhaos Auge.

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