Kegelstumpf

Zhu und Zhao trafen sich vormittags. Nach einer innigen Begrüßung traten sie einen Spaziergang an. Sie gingen das Bachtal tief in den Berg hinein. 忽逢桃花林,夹岸数百步,中无杂树,芳草鲜美,落英缤纷。

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Als sie umkehrten, waren die Baumblätter von der Sonne durchleuchtet. Im Duft von Bienenaromen durchschritten sie Blütenstaub aufwirbelnd die Lenzluft, querten die Holztür und Zhao setzte Tee auf. „Schau, Zhu, was Sanjiao da gebastelt hat!“

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„Er ist anscheinend nicht fertiggeworden.“ „Warum?“ „Weil die Spitze fehlt.“ „Nein, im Gegenteil. Mit der Spitze hat er begonnen, indem er mangels 圆规 (Zirkel) einen kreisrunden Gegenstand – eine Tesafilmrolle vielleicht – als Vorlage für den kleinsten Kreis genommen hat. Diesen kleinsten hat er dann ausgeschnitten, erneut auf eine Pappe gelegt und seinen Umriss umzeichnet, um den nächsten Kreis zu gewinnen. So sukzessive weiter und durch die Kegelform der Bleistiftspitze wurden die Umrisse immer größer. So ist dieser Kegelstumpf von oben nach unten entstanden.“

„Interessant. Welches Volumen hat nun wohl dieser Stumpf? Warten wir auf ihn?“ „Warten wir auf ihn.“ Sie warten auf ihn. Als er nachmittags von der Schule heimkommt, fragt Zhu ihn: „Welches Volumen hat denn dein Kegelstumpf?“ Sanjiao holt ein 尺子 (Lineal) und misst: „Die kleinste Scheibe hat einen Durchmesser von 2,8 cm, die größte von 7,6 cm. Es sind 36 Scheiben“, zählt er, „und der Kegel, nein -stumpf, ist ca. 2 cm hoch.“ „Nun denn“, ermuntert ihn Zhu.

„Also d(h=0) = 7,6 und d(h=2) = 2,8. Ansatz: d(h) = h0 + c*h. d(h=0) = h0 = 7,6. d(h=2) = 2,8 = h0 + c*2 = 7,6 + c*2 => c = (2,8 – 7,6)/2 = -2,4 => d(h) = 7,6 – 2,4*h. Eine Scheibe ist 2/36 = 1/18 cm hoch und hat die Fläche π*d(h)^2/4. d(h)^2 ist (7,6 – 2,4*h)^2 = 7,6^2 – 2*7,6*2,4*h + 2,4^2*h^2 = 57,76 – 36,48*h + 5,76*h^2 cm^2. Eine Scheibe in Höhe h hat das Volumen (57,76 – 36,48*h + 5,76*h^2)/18 cm^3. Die Höhe geht in 36 Stufen von 0 bis 2 cm: h(i) = 2*i/35 für i = 0..35. Die i-te Scheibe hat daher das Volumen (57,76 – 36,48*2*i/35 + 5,76*4*i^2/35^2)/18 cm^3 ~= (57,76 – 2,085*i + 0,019*i^2)/18 cm^3. Alle 36 Scheiben zusammen haben das Volumen 115,52 – (2,085/18)*Summe(i=0..35; i) + (0,019/18)*Summe(i=0..35; i^2) cm^3. Per vollständiger Induktion (数学归纳法) sind Summe(i=1..n; i) n*(n+1)/2 und Summe(i=1..n; i^2) (2*n^3 + 3*n^2 + n)/6. Somit sind Summe(i=0..35; i) = 35*36/2 = 35*18 = 630 und Summe(i=0..35; i^2) = (2*35^3 + 3*35^2 + 35)/6 = 14910. Die Scheiben zusammen 115,52 – 630*2,085/18 + 14910*0,019/18 = 58,14 cm^3. Ach nee, noch mal π/4, macht 45,66 cm^3.“

„Schön uninfinitesimal gerechnet. Du hättest es auch grenzwertig rechnen können, nämlich so: In welcher Höhe wäre der Kegeldurchmesser 0 geworden? 0 = d(h) = 7,6 – 2,4*h => h = 7,6/2,4 = 3,16. Der Kegelstumpf ist nun ein Kegel der Höhe 3,16 cm und des Grunddurchmessers 7,6 cm abzüglich eines Kegels der Höhe 1,16 und des Grunddurchmessers 2,8 cm. Ein Kegel hat das Volumen Grundfläche mal Höhe durch 3, besagter Kegelstumpf also (3,16*7,6^2 – 1,16*2,8^2)*π/12 = 173,76*π/12 = 45,49 cm^3.“

Zhao: „Der Unterschied rührt von den Dreiecken her?“

scheibenkleister

Unisono „Ja.“

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