Agnesikurve

Gestern hatte Google ein Doodle zum 296. Geburtstag von Maria Gaetana Agnesi. Ihre Kurve sieht so aus:

agnesi_warum_nicht_gleich_so

Zu tun: die von Wikipedia angegebenen Formeln nachvollziehen.

agnesi_skizze

Mit der Skizze von Wikipedia und dem Winkel zwischen x-Achse und Strecke OA bzw. ON hier als β bezeichnet, ist A = (|OA|*cos(β), |OA|*sin(β)). N ist λ*A mit λ*|OA|*sin(β) = 2*r. Damit ist N = (2*r*|OA|*cos(β)/(|OA|*sin(β)), 2*r) = (2*r*cot(β), 2*r). P erhält die x-Komponente von N und die y-Komponente von A und ist damit (2*r*cot(β), |OA|*sin(β)).

Es sind α = π/2 – β und γ = π – 2*α = 2*β => γ/2 = β. Damit ist sin(β) = sin(γ/2) = |OA|/(2*r) und also |OA| = 2*r*sin(β). Eingesetzt ist P = (2*r*cot(β), 2*r*sin(β)^2). Das ist die vierte Form im Wikipediaeintrag. Weil α = π/2 – β ist, ist es kein großer Sprung zur dritten Form: P = (2*r*tan(α), 2*r*cos(α)^2). Die zweite Form ist schwieriger zu gewinnen:

Sei t:= cot(β) = cos(β)/sin(β), dann ist sin(β)^2 = (cos(β)/cot(β))^2 = cos(β)^2/cot(β)^2 = (1 – sin(β)^2)/cot(β)^2 <=> sin(β)^2*t^2 = 1 – sin(β)^2 <=> sin(β)^2 = 1/(t^2 + 1) und damit P = (2*r*t, 2*r/(t^2 + 1)).

Die erste Form ergibt sich, indem wir P als (x, y) schreiben, beide Koordinatengleichungen nach t auflösen und gleichsetzen:

x = 2*r*t <=> t = x/(2*r) <=> t^2 = x^2/(2*r)^2
y = 2*r/(t^2 + 1) <=> t^2 = 2*r/y – 1
x^2/(2*r)^2 = 2*r/y – 1 <=> x^2 = (2*r)^3/y – (2*r)^2 <=> x^2 + (2*r)^2 = (2*r)^3/y <=> y(x) = (2*r)^3/(x^2 + (2*r)^2)

*

Lässt sich als Tränenumriss verwenden:

traenen_der_agnesi

Aus der Luft gegriffener Titel „Die Tränen der Agnesi“. Hätte aber besser besser selektiert, so wie Gerhard Richter. Vor sieben Jahren signierte der menschenscheue Megamaler sichtlich angepisst

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Ist das Autogramm was wert? Warte, mann könnte es

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verfremden

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Spielerei eines müßigen Sonntagnachmittags eines, der das weiße Kotelettenhaar jetzt stehen lassen will:

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