17 oder 4

kreis_dunkelblau_hellblau_450x450

Wenn ein Kreis solcherart in sechzehn Flächenstücke aufgeteilt ist und jedes entweder hell- oder dunkelblau gefärbt werden kann, wieviel unterschiedliche Möglichkeiten der Einfärbung gibt es dann, bei denen das Flächenverhältnis von Dunkelblau zu Hellblau zwischen 14 und 18 liegt?

(Hinweis: Hier im Bild beträgt es 9/7.)

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Auflösung weiter unten
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Erst sollte man untersuchen, wie sich die Flächengrößen der Stücke zueinander verhalten.

Die vier Ringe sind offenbar gleich dick. Wenn der große Kreis K(4) die Fläche pi*4^2 hat, dann hat der Ring R(i) die Fläche K(i) – K(i – 1) = pi*(i^2 – (i – 1)^2) = pi*(i^2 – i^2 + 2*i – 1) = pi*(2*i – 1) für i = 1..4. Somit verhalten sich die Größen der sechzehn Flächenstücke von innen nach außen wie 1 : 3 : 5 : 7. Alle Stücke zusammen sind 4*(1 + 3 + 5 + 7) = 4*16 = 64 Einheiten groß.

Weil immer nur ganze Stücke hell- oder dunkelblau gefärbt werden können, ist die dunkelblaue Fläche eine ganze Zahl zwischen 0 und 64 groß. Die hellblaue Fläche ist 64 minus dieser Zahl. Probieren wir alle diese 65 maximal möglichen Flächengrößen von Dunkelblau aus und lassen das Verhältnis Dunkelblau : Hellblau errechnen, dann stellen wir fest:

Dunkelblau    Hellblau    Dunkelblau/Hellblau
59 5 59/5 ~= 11,8
60 4 60/4 = 15
61 3 61/3 ~= 20,3

Allein wenn 4 Einheiten hellblau sind, liegt also das Verhältnis zwischen 14 und 18.

Jetzt kommt es darauf an, diese 4 Einheiten Hellblau auf die zur Verfügung stehenden sechzehn Flächenstücke zu verteilen. Das geht auf zweierlei Weise: 4 = 4*1 = 1*3 + 1*1. Das macht zunächst einmal 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17 unterschiedliche Lösungen, weil die beiden einzelnen Hellblaus unabhängig voneinander oben, rechts, unten oder links platziert werden können.

Aber vielleicht will man Lösungen, die durch Rotation und Spiegelung ineinander überführt werden können, nur einfach zählen. Wieviel wären es dann? Ich denke, diese vier hier:

17_oder_4_loesung_450x447

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