Taufbecken

Angesichts dieses Taufbeckens in St. Nikolaus in Bensberg

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in dessen Rand Matthäus 13,47 „Mit dem Himmelreich ist es wie mit einem Netz, das man ins Meer warf, um Fische aller Art zu fangen.“ (wir kennen ja unsere Bibel) graviert ist, wobei das zweite L von aller preziös klein ins erste hineingesetzt ist

P5300125_768x1024Seelenwaage in Marienberghausen

könnte man sich fragen wollen, wie groß das Verhältnis der schwarzen zur weißen Fläche im sechseckigen Rand ist.

Ein Modell erstellt, dass vom christlichen Vorbild darin abweicht, dass die schwarzen und weißen Streifen gleich dick sind, vielleicht verzählt und die bronzenen Umfassungen weggelassen:

taufbecken_schwarz_450x420

Das äußere Hexagon hat die Seitenlänge 300 Einheiten und der Rand ist 38 Einheiten stark. Wie groß ist hier das Verhältnis Schwarz : Weiß?

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(Versuch weiter unten)

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Ein Hexagon besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Zuerst den Fall rechnen, wenn das Dreieck komplett mit Streifen gefüllt ist:

taufbecken_dreieck_450x399

Wenn das gleichseitige Dreieck die Seitenlänge s hat, dann besitzt es die Höhe h = s*Wurzel(3)/2 und die Fläche s*h/2 = h^2/Wurzel(3). Die Streifen der Breite b sind symmetrische Trapeze. Der unterste Streifen lässt sich verstehen als Dreieck der Höhe h minus Dreieck der Höhe h – b. Daher hat er die Fläche (h^2 – (h – b)^2)/Wurzel(3) = (2*h*b – b^2)/Wurzel(3). Die Fläche des i-ten Streifens von unten ist (2*(h – i*b)*b – b^2)/Wurzel(3) = (2*h – (2*i + 1)*b)*b/Wurzel(3).

Es gehen n = h div b (div die Division ohne Rest) vollständige Streifen ins Dreieck, davon ist jeder zweite weiß und es sind m = n div 2 schwarz. Die Gesamtfläche dieser m schwarzen Streifen ist Summe(i=0..(m-1); (2*h – (4*i + 1)*b)*b/Wurzel(3)) = m*b*(s – (2*m – 1)*b/Wurzel(3)). = m*b*(2*h – (2*m – 1)*b)/Wurzel(3).

taufbecken_zwei_dreiecke_450x192

Ist 2*m > n, dann bleibt oben ein kleines weißes Dreieck übrig und alle schwarzen Flächen sind bereits erfasst. Andernfalls ist die schwarze Fläche noch um das kleine Dreieck der Höhe h – n*b zu ergänzen. Dieses hat die Fläche (h – n*b)^2/Wurzel(3).

taufbecken_vorgehensweise

Nun lässt sich das Verhältnis Schwarz : Weiß in einem der sechs identischen Randstücke der Stärke d folgendermaßen bestimmen. Die schwarze Fläche im Randstück erhält man, indem man die schwarze Fläche im Dreieck der Höhe h = s*Wurzel(3)/2 berechnet und davon die schwarze Fläche im Dreieck der Höhe h – d abzieht. Die Fläche des Randstücks ist das Dreieck der Höhe h minus dem der Höhe h – d. Die weiße Fläche im Randstück ist die Fläche des Randstücks minus der schwarzen in ihm. So erhält man das Verhältnis Schwarz : Weiß.

Im erstellten Modell sind es abgezählt 30 Streifen. Sie sind b = s*Wurzel(3)/60 breit. Das Dreieck, welches abgeschnitten werden muss, hat die Höhe h – d, aber nach wie vor die Streifenbreite b. Es enthält weniger Streifen und am Ende bleibt eine kleine weiße Spitze übrig.

Mit den vorgegebenen Werten s = 300 und d = 38 erhalte ich ein Verhältnis Schwarz : Weiß von 1,0346.

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